Dimensione e Base di un annullatore.

[Simonixx]

Il mio dubbio è quanto scritto nel titolo: voglio trovare la dimensione e la base dell'annullatore conoscendo la base del sottospazio e dell'ambiente su cui lavoro.

Facendo un esempio: $V = R^5$, $W = $

$w_1 = (0,1,0,1,0)$
$w_2 = (2,1,-1,2,1)$

Li ho presi a caso.
Adesso se mi si chiede quanto scritto nel titolo del topic come dovrei muovermi?
(Se volete spiegarmi la procedura in generale mi sta bene lo stesso...)

Ricordo brevemente: $A(W) = {f in V' : f(w) = 0, AA w in W}$

$A(W)$ è l'annullatore di $W$
$V'$ è il duale di $V$

[maurer]

[tex]\mathbb R^5[/tex] è euclideo, hai un'accoppiamento di dualità standard [tex]\mathbb R^5 \times \mathbb R^5 \to \mathbb R[/tex], dato dal prodotto scalare. Questo ti consente di identificare [tex]\mathbb R^5[/tex] con [tex](\mathbb R^5)'[/tex] secondo l'applicazione [tex]\mathbf v \mapsto \mathbf v \cdot -[/tex] (prodotto scalare con [tex]\mathbf v[/tex]).

Trovare l'annullatore diventa sinonimo di risolvere il sistema
[tex]\begin{cases} \mathbf v \cdot \mathbf w_1 = 0 \\ \mathbf v \cdot \mathbf w_2 = 0 \end{cases}[/tex]
Questo è un semplice sistema lineare con incognite le componenti di [tex]\mathbf v[/tex]. Risolvilo ed avrai la base del tuo annullatore!

Ah, dimenticavo: con l'accoppiamento di dualità che ho usato, diventa chiaro che l'annullatore si identifica al complemento ortogonale. Quindi sai già la dimensione dell'annullatore in funzione di quella del sottospazio ancora prima di iniziare a conteggiare...