Dimensione e Base di U intersecato W

[yuco15]

Ciao raga ! Ho difficoltà con questo esercizio . Potreste aiutarmi?

Assegnati i seguenti sottospazi vettoriali di R4 :

U = L((0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0,-1))
W = L((0, 0, 1,-1), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1))

Determinare la dimensione e una base di U (intersecato) W.

Grazie 1000 in anticipo !

[ciampax]

Letto il regolamento? Dovresti almeno dare un'idea su come procedere.

[yuco15]

Io ho provato a fare la matrice formata dai sei vettori dei due sottospazi. Ho calcolato il rango di questa matrice e mi è venuto pari a 4. Ora non so più come procedere .

[Seneca1]

Hai provato a scrivere le equazioni cartesiane dei sottospazi $U$ e $W$?

[Seneca1]

Se non ho sbagliato i conti ti posso dire che il sottospazio intersezione ha dimensione $2$ e $B = { (1 , 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , - 1 , 0 , 1 ) }$ ne è una base.

Qualcuno può confermarmelo?

[yuco15]

"Seneca":Se non ho sbagliato i conti ti posso dire che il sottospazio intersezione ha dimensione $2$ e $B = { (1 , 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , - 1 , 0 , 1 ) }$ ne è una base.

Qualcuno può confermarmelo?

In relazione alla dimensione mi trovo come te. Ho proseguito in questo modo: ho messo in un unica matrice tutti e 6 i vettori ed ho calcolato il rango che mi viene pari a 4 . A questo punto ho fatto 6-4=2 E' questa la procedura corretta ? che venga 2 la dimesione è sicuro perchè ho il risultato dell'esercizio che comunque allego :



Come si perviene a questo stesso risultato ? Grazie

[Seneca1]

Come ti dicevo io... Scrivi le equazioni parametriche dei sottospazi $U$ e $W$.

[yuco15]

Le ho scritte. Mettendole a sistema ottengo la rappresentazione parametrica di U (intersecato) W , giusto? Per la dimensione invece ?

[Seneca1]

"yuco91":Le ho scritte. Mettendole a sistema ottengo la rappresentazione parametrica di U (intersecato) W , giusto? Per la dimensione invece ?

Se hai ottenuto il sistema:

${(y - z + t = 0 ),(x - z - t = 0 ):}$

è fatta. Infatti puoi prendere $z$ e $t$ come parametri liberi e hai:

$x = z + t$ e $y = z - t$ .

Quindi il tuo sottospazio intersezione è formato da vettori del tipo $( z + t , z - t , z , t ) = z ( 1 , 1 , 1 , 0 ) + t ( 1 , - 1 , 0 , 1 )$.

Una base dell'intersezione è $B_(U nn W ) = {( 1 , 1 , 1 , 0 ), ( 1 , - 1 , 0 , 1 )}$ dunque la dimensione è $2$.

[yuco15]

oook ! Non so come ringraziarti. Sei stato gentilissimo . Ciao

[Seneca1]

Un gelato.