Dimensione e base dell'intersezione e della somma di due sottospazi

[ShaxV]

Buongiorno, vi propongo questo esercizio di algebra lineare :
Sia A lo spazio delle soluzioni di -x-2y=0 e B lo spazio delle soluzioni del sistema $ { ( x+y-z=0 ),( 2x+3y-z=0 ):} $ Determinare senza usare la relazione di Grassman :
a)Dimensione e base di A
b) Dimensione e base di B
c) Dimensione e base di $ AnnB $
d) Dimensione e base di A+B

I punti a,b sono rapidi e a meno di errori ho trovato :
A =(-2y ; y ; z) da cui Base di A ={(-2 ; 1 ; 0),(0 ; 0 ; 1)} e Dim(A)=2
B= ( -2y ; y ; -y) da cui Base di B ={(-2 ; 1 ; -1)} e Dim(B)= 1

Il problema è per i punti c,d
Per il punto c ho messo a sistema le 3 equazione ottenendo
$ AnnB{ ( x=-2y ),( z= -y ),( x=-2y ):} $ quindi ho concluso che la Base fosse (-2 ; 1 ; -1) e Dim=1 è corretto ?
Per il punto C invece ho pensato di controllare l'indipendenza dell'unione delle due basi ottenendo che la base dovrebbe essere l'uninone delle due basi e quindi la dimensione = 3 ma ovviamente ci sono errori poichè controllando con la relazione di Grassman mi ritrovo 4=3

Potreste aiutarmi ? Magari spiegando un procedimento generale per i punti c,d
Grazie

[Jokah]

"ShaxV":
l'uninone delle due basi e quindi la dimensione = 3

Mi permetto di dissentire: poiché la base del primo è data da \( \{(2, -1, 0), (0, 0, 1) \}\) mentre una base del secondo è data da \(\{(2, -1, 1)\}\) puoi essenzialmente notare anche a occhio come quest'ultima sia data dalla somma degli elementi della base del primo spazio \( (2, -1, 1) = (2, -1, 0) + (0, 0, 1) \) per cui l'intersezione ha dimensione 1, ed è data dai vettori così come li hai trovati tu, ma la somma ha dimensione 2, pari al rango della matrice che ha per righe l'unione delle basi. Allora per la formula di Grassman 2 = 2 + 1 - 1 = 2, che è verificata!

La base per la somma la estrai considerando, dalla unione delle basi dei singoli spazi, i vettori tra quelli così trovati che sono linearmente indipendenti.

Nella matrice

\( \left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
2 & -1 & 1 \\
\end{array}\right)\)

si nota che la terza riga è somma delle prime 2. La prima e la seconda sono invece linearmente indipendenti. Una base per la somma è data da \(\{(2,-1,0), (0,0,1)\)} , infatti tutto il secondo spazio è contenuto nel primo.

[ShaxV]

Hai ragione, non ci ho fatto proprio caso grazie !
Quindi i ''procedimenti'' sono corretti per l'intersezione ?
Per la somma invece è giusto mettere sempre le due basi in una matrice e ''estrarre'' una base da essa ?

[Jokah]

"ShaxV":Hai ragione, non ci ho fatto proprio caso grazie !
Quindi i ''procedimenti'' sono corretti per l'intersezione ?
Per la somma invece è giusto mettere sempre le due basi in una matrice e ''estrarre'' una base da essa ?

Corretto (per tutte e due)!