Dimensione e base

[asder83]

vale sempre $dim(R^n)=n$ ?
quando vale? e quando non vale?

una base di $R^n$ deve avere $n$ vettori giusto? (e ogni vettore è composto da $n$ elementi ? )

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Dato uno spazio vettoriale $V$, ogni sua base avrà sempre uno stesso numero $n$ di vettori; tale numero indica la dimensione di $V$:

$dimV=n$

Per calcolare la dimensione di $RR^n$, basta trovare una qualunque sua base e vedere da quanti vettori tale base è formata; per comodità conviene considerare la base canonica di $RR^n$.

Saluti.

[asder83]

quindi se abbiamo $R^3$ tutte le basi sono formate da $3$ vettori e la dimensione è $3$
se abbiamo $R^4$ tutte le basi sono formate da $4$ vettori e la dimensione è $4$
e cosi via... ?

[Sk_Anonymous]

"chry11":quindi se abbiamo $ R^3 $ tutte le basi sono formate da $ 3 $ vettori e la dimensione è $ 3 $
se abbiamo $ R^4 $ tutte le basi sono formate da $ 4 $ vettori e la dimensione è $ 4 $
e cosi via... ?

Esatto.
Il discorso è analogo anche per i vari sottospazi, ma, in quel caso, la dimensione è meno intuitiva che non negli spazi del tipo $RR^n$.

Saluti.

[asder83]

e come le trovo le basi dei seguenti spazi vettoriali
$S1={(x,y) in R^2 : x=0}$
$S2={(x,y,z) in R^3 : y-x=x-2z=0}$
$S3={(x,y,z,t) in R^4 : y-x=x-2z=0}$

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Tratto solo uno dei casi (quello "medio"): osserva la tecnica e acquisiscila, perchè è assai ricorrente.

Sia $ S2={(x,y,z) in RR^3 : y-x=x-2z=0} $; si ha

${(y-x=0),(x-2z=0):} Rightarrow {(y=x),(z=x/2):}$

Quindi

$S2={(x,x,x/2) in RR^3 : x in RR}={x(1,1,1/2)in RR^3 : x in RR}=mathcalL{(1,1,1/2)}$

Cioè: lo spazio $S2$ è generato da un solo vettore, per cui $dimS2=1$

In generale, trovando i generatori del sottospazio in esame, costruendo la matrice formata dai generatori e calcolandone il rango, si trova la dimensione del sottospazio.

Saluti.

[asder83]

ciao scusami, forse ho capito io male. in questo caso che hai analizzato tu la $dim=1$
ma non avevamo detto che in $R^3$ -> $dim=3$ ??

[Sk_Anonymous]

"chry11":ciao scusami, forse ho capito io male. in questo caso che hai analizzato tu la $ dim=1 $
ma non avevamo detto che in $ R^3 $ -> $ dim=3 $ ??

Ciao.

La scrittura corretta è $dimRR^3=3$.

Attenzione, però: $S2$ è un sottospazio di $RR^3$ che non coincide con $RR^3$, quindi si deve avere $dimS2<3$.
Siccome basta un unico vettore per generare $S2$ (ed è ovvio che dato un unico vettore questo sarà sempre banalmente linearmente indipendente), allora si ha $dimS2=1$.

Dal punto di vista geometrico lo spazio $S2$ rappresenta una retta dentro un ambiente tridimensionale (cioè $RR^3$).

Saluti.

[asder83]

però nel testo dell'esercizio sta scritto : trovare la base dei seguenti spazi vettoriali. (non sottospazi)
non c'entra nulla?

[Sk_Anonymous]

"chry11":però nel testo dell'esercizio sta scritto : trovare la base dei seguenti spazi vettoriali. (non sottospazi)
non c'entra nulla?

Talvolta i sottospazi vengono denominati con il termine generico di "spazi".

Saluti.