Dimensione di uno spazio vettoriale che non è un sottospazio

[Alex1!22]

Si consideri lo spazio vettoriale S=((x,y,z):x^2+z=0), ovviamente (x,y,z)appartiene a R^3, e x,y,z sono numeri reali. Si può anche scrivere:
S=((x,y,-(x^2))). S non è un sottospazio vettoriale in quanto la sua terza componente è sempre negativa, quindi non contiene tutte le combinazioni lineari dei propri vettori. Cercando di calcolare la sua dimensione ho trovato tre vettori: (0,1,0),(1,0,-1),(2,0,-4), che appartengono a S, e sono linearmente indipendenti. Ma allora la dimensione di S è 3?? E' possibile che dim(S)=dim(R^3)? Quando è evidente che S è strettamente contenuto in R^3.
Vi ringrazio in anticipo per le risposte.

[Sk_Anonymous]

"Alex1!": S non è un sottospazio vettoriale

Allora di che dimensione stiamo parlando?

[Alex1!22]

La dimensione di uno spazio vettoriale S è la cardinalità di una base di S. Quale è il punto? Che i tre vettori non sono una base di S? Cioè uno spazio vettoriale che non è un sottospazio non ha basi e quindi non è possibile definire la sua dimensione?

[gugo82]

Veramente $S$ non è nemmeno uno spazio vettoriale, se ti fa piacere saperlo.

Ad ogni modo quell'oggetto lì è un cilindro parabolico, quindi è una superficie regolare di $RR^3$ e, come ogni superficie regolare che si rispetti, ha dimensione $2$ (infatti è localmente isomorfo a $RR^2$).
Ovviamente non ci si può aspettare di determinare la dimensione di $S$ andando a cercarne una base visto che, come già detto, $S$ non è uno spazio vettoriale.

[Alex1!22]

Si è chiaro Gugo82. Abbi pazienza ma sono alle prime armi. Non avendo per ogni elemento l'elemento opposto non è uno spazio vettoriale. Ho voluto apposta modificare l'esercizio originale, che era trovare la dimensione del sottospazio generato da S, e non di S, proprio per sapere se:
-Ci sono esempi di spazi vettoriali che non sono sottospazi?
-In che modo si può calcolare la loro dimensione?

[gugo82]

"Alex1!":-Ci sono esempi di spazi vettoriali che non sono sottospazi?

Quando parli di sottospazi lo fai riferendoti ad uno spazio più grande che ne contiene i sostegni... Insomma, non ha senso parlare di "sottospazi" in assoluto; bisogna sempre specificare "sottospazi di...".

Inoltre, una regola fondamentale è che ogni spazio vettoriale è un sottospazio di se stesso.

"Alex1!":-In che modo si può calcolare la loro dimensione?

Se un oggetto non è uno spazio vettoriale, non ha senso chiedersi se ha dimensione algebrica; in altre parole, non ha senso chiedersi quanti elementi ha una sua base, proprio perchè la nozione di base è definita unicamente per spazi vettoriali.

Tuttavia i matematici hanno a disposizione altre e ben più difficili definizioni di dimensione: ad esempio quella della Geometria Differenziale oppure quella della Teoria della misura di Hausdorff (che è quella che si usa per definire la dimensione dei frattali, oggetti piuttosto curiosi).
Ovviamente, i concetti di dimensione della Geometria Differenziale e della Teoria della misura di Hausdorff coincidono con quello di dimensione algebrica quando sono applicati ad un sottospazio affine/vettoriale di $RR^n$.