Dimensione di uno spazio vettoriale

valentina921
Salve a tutti, chiedo scusa per la banalità della domanda, ma credo che sia importante risolvere questo dubbio.

Io so che uno spazio vettoriale a dimensione finita n è generato da n vettori linearmente indipendenti, cioè che ognuna delle sue infinite basi è costituita da n vettori. Quindi la dimensione dello spazio vettoriale è definito in questo caso dal numero di vettori da cui è formata la base; ma ognuno dei vettori della base è formato da n componenti(non sono sicura della correttezza di questa parola in questo contesto)?
Quello che ha fatto nascere questo dubbio è un esempio del libro, in cui due vettori v(1) = (3,1,0) e v(2) = (-1, -1, 0) costituiscono una base di R^3.

Grazie a tutti

Valentina

P.S. chiedo scusa per il modo in cui ho scritto i vettori e lo spazio R^3 ma mi sono appena iscritta e non so come scriverlo nel modo giusto!

Risposte
perplesso1
ma ognuno dei vettori della base è formato da n componenti(non sono sicura della correttezza di questa parola in questo contesto)?

Spero di aver capito la domanda cmq ti faccio un esempio, considera $ {(t,2t,-3t): t \in R} $ con le usuali operazioni di somma e prodotto per uno scalare è uno spazio vettoriale di dimensione 1, una sua base è $ {(1,2,-3)} $ ma i suoi elementi sono vettori di $ R^3 $ e quindi dome dici tu hanno tre "componenti" (non so neanch'io se il termine è adatto xD), quindi le due cose non sono necessariamente collegate... Non so che libro hai ma due vettori non possono costituire una base di $ R^{3} $, ti servono 3 vettori indipendenti per generare $ R^{3} $

Seneca1
"valentina92":
P.S. chiedo scusa per il modo in cui ho scritto i vettori e lo spazio R^3 ma mi sono appena iscritta e non so come scriverlo nel modo giusto!


Per i messaggi venturi leggi qui: http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html

valentina921
Ho capito, ringrazio entrambi per aver risolto questo dubbio! Sergio ha ragione, ho letto male l'esempio: i due vettori costituiscono la base dello spazio V che è il piano z=0 in R^3. Grazie ancora!

valentina921
scusate se sono ripetitiva ma ho ancora un dubbio: se V=$|( x_1,x_1,x_3)| in RR^3 | x_1,x_3 in RR$ è un sottospazio vettoriale di $RR^3$ perchè la sua dimensione è 2? la sua base non è un solo vettore di $RR^3$ ?

perplesso1
Osserva meglio... ci sono 2 variabili che variano in R , se poni $ x_1=0 $ e $ x_3=1 $ ottieni il primo vettore della base (0,0,1) mentre se poni $ x_1=1 $ e $ x_3=0 $ ottieni (1,1,0). I due vettori sono indipendenti (ovvero non proporzionali) e pertanto costituiscono una base di $ V = Span({(0,0,1);(1,1,0)}) $

valentina921
Perfetto!! ho capito benissimo! grazie per la pazienza!
Valentina

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.