Dimensione di uno spazio vettoriale

darienzo007 · 2023-05-14CEST13:19:39+02:00

"\nCiao ragazzi non riesco a risolvere questo esercizio.\nEnd (R^3) \u00e8 una matrice 3x3 = $ ( ( a , b , c ),( d , e , f ),( g , h , i ) ) $ ; per\u00f2 so che l'immagine di e1 = (1,0,2) => la matrice diventa $ ( ( 1 , b , c),( 0 , e , f ),( 2 , h , i ) ) $ \nl'altra condizione \u00e8 che il ker(f) = span (1,0,-1) => possiamo dire che la dimensione del ker(f) = 1;\nda qui non so pi\u00f9 come procedere e non so come faccio a dire che V non \u00e8 uno spazio vettoriale.\nGrazie per le risposte!!"

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darienzo007

14 mag 2023, 13:19

Ciao ragazzi non riesco a risolvere questo esercizio.
End (R^3) è una matrice 3x3 = $ ( ( a , b , c ),( d , e , f ),( g , h , i ) ) $ ; però so che l'immagine di e1 = (1,0,2) => la matrice diventa $ ( ( 1 , b , c),( 0 , e , f ),( 2 , h , i ) ) $
l'altra condizione è che il ker(f) = span (1,0,-1) => possiamo dire che la dimensione del ker(f) = 1;
da qui non so più come procedere e non so come faccio a dire che V non è uno spazio vettoriale.
Grazie per le risposte!!

Risposte

ViciousGoblin

14 mag 2023, 13:06

Beh, l'informazione che $ker(f)=$span$(1,0,-1)$ ti dice che $f(1,0,-1)=0$, dunque:
$1\cdot1+0\cdot b+(-1)cdot c=0$,$0\cdot1+0\cdot e+(-1)cdot f=0$, $2\cdot1+0\cdot h+(-1)cdot 1=0$,
e cioè $c=1$, $f=0$ e $i=2$. D'altra parte è chiaro che con queste condizioni il nucleo è quello richiesto.
Dunque gli $f$ di $V$ sono caratterizzati dalle matrici del tipo:
\begin{pmatrix} 1&b&1\\ 0&e&0 \\ 2&h&2 \end{pmatrix} al variare di $b,e,h\in\mathbb{R}$. Ti pare che queste matrici formino uno spazio lineare?

PS In realtà non sarebbe neanche necessario guardare le matrici...