Dimensione di uno spazio

[fborrelli]

Salve ragazzi.
Ho una domanda a cui non riesco a dare una risposta " formale ", perchè intuitivamente riesco a darmi una risposta.
Perché dato uno spazio di dimensione n n è il numero minimo di generatori, nonché il massimo numero di vettori liberi ?

Sui miei appunti ho scritto che n è il massimo numero di vettori liberi per il teorema di Steinitz, in quanto se il numero di vettori liberi di un insieme superasse il numero dei vettori della base allora quell'insieme sarebbe legato, ma non mi convince troppo come spiegazione.

ho pensato che la risposta risieda in quello che io definisco come " il teorema delle basi", in particolare che B è una base s.s.e è un insieme di generatori minimale ( se ne togliessi uno smetterebbe di generare e quindi non sarebbe una base ) ed un insieme libero massimale ( aggiungendo un vettore diventerebbe un insieme legato e quindi cesserebbe di essere una base ).

Insomma, vorrei sapere perché per generare R^n servono proprio n vettori.

Grazie !!!

[Kashaman]

Per vettori liberi intendi vettori lin.indipendenti, giusto?
In tal caso ciò che hai pensato è corretto.

[Magma1]

"urbanmaths":

Insomma, vorrei sapere perché per generare R^n servono proprio n vettori.

$s=((a), (b),(.),(.),(.),(n-1),(n))=a((1), (0),(0),(.),(.),(0),(0))+b((0),(1),(.),(.),(.),(0),(0))+(n-1)((0),(0),(.),(.),(.),(1),(0))+n ((0),(0),(.),(.),(.),(0),(1))$

Quanti vettori mi sono serviti per generare il vettore $s$?