Dimensione di sottospazi vettoriali
Salve,
sto avendo problemi con questo esercizio:
Si determini la dimensione del sottospazio U = V ∩ W di $R^4$ essendo:
V = {(x,y,z,t) ∈ $R^4$ | 2x-y+t=0};
W= {(x,y,z,t) ∈ $R^4$ | x+y-2x-t=0};
So che posso trovare la dimensione dell'intersezione grazie alla relazione: dim(V+W) = dimV + dimW - dim(V ∩ W)
ma non so come trovare le dimnensioni dei singoli sottospazi e della loro somma.
Grazie in anticipo.
sto avendo problemi con questo esercizio:
Si determini la dimensione del sottospazio U = V ∩ W di $R^4$ essendo:
V = {(x,y,z,t) ∈ $R^4$ | 2x-y+t=0};
W= {(x,y,z,t) ∈ $R^4$ | x+y-2x-t=0};
So che posso trovare la dimensione dell'intersezione grazie alla relazione: dim(V+W) = dimV + dimW - dim(V ∩ W)
ma non so come trovare le dimnensioni dei singoli sottospazi e della loro somma.
Grazie in anticipo.
Risposte
Se il numero di equazioni indipendenti che definiscono un sottospazio e' $k$, e sei in $R^n$, allora la dimensione del sottospazio e' $n-k$. Sottolineo indipendenti. Indipendenti.
In particolare una singola equazione non banale definisce sempre un iperpiano, ossia un sottospazio di dimensione $n-1$.
Devi trovare la dimensione dell'intersezione di due spazi in $R^4$: la cosa piu' sensata e' trovare una base dei due e vedere se essi, insieme, generano tutto. Per gli iperpiani e' abbastanza facile: l'unico modo in cui essi possono non generare tutto e' coincidendo (se $V$ e' generato da \(\{v_1,v_2,v_3\}\) ti basta qualsiasi vettore di $W$ indipendente da loro a generare tutto $R^4$).
In particolare una singola equazione non banale definisce sempre un iperpiano, ossia un sottospazio di dimensione $n-1$.
Devi trovare la dimensione dell'intersezione di due spazi in $R^4$: la cosa piu' sensata e' trovare una base dei due e vedere se essi, insieme, generano tutto. Per gli iperpiani e' abbastanza facile: l'unico modo in cui essi possono non generare tutto e' coincidendo (se $V$ e' generato da \(\{v_1,v_2,v_3\}\) ti basta qualsiasi vettore di $W$ indipendente da loro a generare tutto $R^4$).
grazie mille della risposta, ho svolto i calcoli, allora:
sia V che W hanno dim = 3 e dim(V+W)=2
svolgendo i calcoli trovo che la dimensione dell'intersezione è uaguale a 4 ma questo risultato non c'è nelle risposte.
Dove sbaglio?
sia V che W hanno dim = 3 e dim(V+W)=2
svolgendo i calcoli trovo che la dimensione dell'intersezione è uaguale a 4 ma questo risultato non c'è nelle risposte.
Dove sbaglio?
up
Ciao a tutti 
@pala
Non è che l'equazione è $ x+y-2z-t =0$
Comunque a parte questo, se hai le equazioni cartesiane dei due sottospazi, è sufficiente metterle in un unico sistema, fare la somma delle due e ti trovi che l'intersezione è costituita dai vettori di $ R^4 $ che si scrivono come $ (0,t,z,t) $ e quindi la dimensione è 2.
@pala
"pala2013":
W= {(x,y,z,t) ∈ R4 | x+y-2x-t=0}
Non è che l'equazione è $ x+y-2z-t =0$
Comunque a parte questo, se hai le equazioni cartesiane dei due sottospazi, è sufficiente metterle in un unico sistema, fare la somma delle due e ti trovi che l'intersezione è costituita dai vettori di $ R^4 $ che si scrivono come $ (0,t,z,t) $ e quindi la dimensione è 2.
si così ho fatto ma non mi trovo con il risultato T_T idee?
Ciao
qual'è il risultato?
qual'è il risultato?
ci sono varie alterntive, a me esce 4 ma no c'è tra le risposte T_T
2 c'è come risposta?
si, come lo hai ottenuto?
L'esercizio ti chiede la dimensione dell'intersezione tra i due spazi. Tu hai a disposizione l'equazioni cartesiane dei due spazi. Se le metti in un unico sistema ti ottieni quali vettori stanno nell'intersezione. Si tratta di vettori dipendenti da 2 parametri e quindi la dimensione è 2.
grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo