Dimensione di Ker f

[Gian741]

buongiorno a tutti

ho un dubbio sul seguente esercizio:

applicazione lineare $ cc(R)^(4)rarr cc(R)^(2) $ definita da $ (x,y,z,t)=(x-5t,x-6t) $
si stabilisca se è iniettiva e surriettiva.

allora, ricavo la matrice associata è vedo subito che il rango è 2.
Quindi $Im(f) = 2$.
Dalla formula $Im(f)+Ker(f)=4$ verifico che $Ker(f) > 0$ quindi non è iniettiva.
Mentre essendo $Im(f)=2$ coincide con tutto $cc(R)^(2)$ quindi è suriettiva.
penso che il tutto sia corretto.
Il dubbio sorge se tento di trovare le basi di $Ker(f)$.
Mi vengono fuori le du equazioni : $x-5t=0$ e $x-6t=0$.
Mi risulta $x=0$ e $t=0$ come se $ker(f)=0$
dove è lo sbaglio?

grazie in anticipo
Gianluca.

[claudiamatica]

Il ker è l'insieme dei vettori $v=(x,y,z,t) in RR^4$ tali che $f(v)$=0.
Tu hai trovato condizioni su $x, t$ non su $y$ e $z$, che quindi sono liberi di assumere qualsiasi valore.
In sostanza $ker f$ è costituito dai vettori della forma $(0,y,z,0)$.
Non dovrebbe essere difficile esibire una base..

[Gian741]

opss...
che erroraccio...
grazie per la risposta

quindi le basi come vanno scritte?
$y(0,1,0,0)$
$z(0,0,1,0)$

Gianluca

[claudiamatica]

esatto, una base è $(0,1,0,0) (0,0,1,0)$

[Gian741]

grazie per il tuo aiuto