Dimensione della coomologia di De Rham per varietà di tipo finito

[ACA2]

C'è una proposizione che prova a raccontarmi che la coomologia (di de Rham e compatta) ha dimensione finita per varietà di tipo finito. Usa l'esistenza di un buon ricoprimento (finito). Pone

\(\displaystyle
X = U \cup V \\
U = U_1 \cup \ldots \cup U_r \\
V = U_{r+1}
\)

Quindi parte da $r=1$ e nota che è semplicemente il lemma di Poincaré. A quel punto gli da di induzione e usa la successione di Mayer-Vietoris

Per la coomologia di De Rham
\(\displaystyle H^{*-1}(U \cap V ) \xrightarrow{\partial^*} H^*(U \cup V) \xrightarrow{f} H^*(U) \oplus H^*(V) \xrightarrow{g} H^*(U \cap V) \)

\(\displaystyle H^*(U \cup V) = Im \; \partial^* \oplus \; Im f \)

Per induzione \(\displaystyle Im \; f \) ha dimensione finita, perché è un sottopazio di \(\displaystyle H^*(U) \oplus H^*(V) \). Ma che posso dire di \(\displaystyle Im \; \partial^* \)?

Per la compatta
\( H_c^{*-1}(U) \oplus H_c^{*-1}(V) \xrightarrow{f} H_c^{*-1}(U \cup V) \xrightarrow{\partial_*} \displaystyle H_c^{*}(U \cap V ) \xrightarrow{g} H_c^*(U) \oplus H_c^*(V) \)

\(\displaystyle H_c^*(U \cup V) = Im \; \partial_* \oplus Im \; g \)

e ho lo stosso problema con la funzione \(\displaystyle \partial_* \).

Cosa devo notare?
Grazie

[killing_buddha]

\(H^\star(U\cap V)\cong \mathbb R\) perché il ricoprimento è buono, e questa è la base dell'induzione.

[ACA2]

ops, in effetti non era difficile.
Però quello che per induzione posso dire è che \(\displaystyle H^*(U \cap V) \) ha dimensione finita, non proprio che è diffeomorfo ad \(\displaystyle \mathbb R \). Avrei potuto dirlo se la varietà fosse stata connessa, altrimenti avrei potuto avere \(\displaystyle U_i \cap U_j \) e \(\displaystyle U_s \cap U_t \) disgiunti.

[dan952]

$\text{Im}(\partial^{\ast})$ è quoziente di $H^{p-1}(U nn V)$ che ha dimensione finita