Dimensione, base,base ortogonale

[nicscap]

ciao! cerco qualcuno che mi confermi la validità di quello che io so, e magari qualche aiuto o via più veloce! propongo una mia risoluzione.
testro esercizio : sia V il sottospazio vettoriale di $RR^4$ generato dai vettori $v_1$,$v_2$,$v_3$

$v_1$=$[[0,1,1,0]]$
$v_2$=$[[4,-2,0,2]]$
$v_3$=$[[4,1,3,2]]$

a) determinare la dimensione e una base di V
b) determinare una base ortogonale di V
c) determinare una base del complemento ortogonale di V

allora
a) io so che un insieme di vettori è base di V se è linearmente indipendente e se hanno lo stesso numero di elementi.
nel mio caso vedo che solo tutti composti da 4 elementi e quindi devo solo verificare che sono linearmente indipendenti.
quindi $[v_1$,$v_2$,$v_3]$ è una base di V.


b) per la base ortogonale utilizzo l'algoritmo di gra-schmidt e quindi trovo la mia base ortogonale


c) per determinare una base del complemento ortogonale devo mettere i miei tre vettori in matrice, aggiungere la colonna di zeri alla fine e con l'eliminazione di gauss ottengo la mia base del complemento ortogonale.
giusto?

potreste aiutarmi a verificare se le soluzioni che mi vengono sono giuste?

grazie mille a tutti quelli che leggono. spero possa essere l'aiuto anche per altri

[weblan]

Ti faccio solo notare che il sistema di vettori assegnati è linearmente indipendente.

Ti potresti limitare a considerare il sistema: $(0,1,1,0),(2,-1,0,1)$

[nicscap]

Nessuno che mi aiuta???

[angeloferrari]

"nicscap":
a) determinare la dimensione e una base di V
b) determinare una base ortogonale di V
c) determinare una base del complemento ortogonale di V

allora
a) io so che un insieme di vettori è base di V se è linearmente indipendente e se hanno lo stesso numero di elementi.
nel mio caso vedo che solo tutti composti da 4 elementi e quindi devo solo verificare che sono linearmente indipendenti.
quindi $[v_1$,$v_2$,$v_3]$ è una base di V.

i 3 vettori sono linearmente Dipendenti come ha detto weblan, quindi una base per $V$ è $(0,1,1,0),(2,−1,0,1)$

"nicscap":b) per la base ortogonale utilizzo l'algoritmo di gra-schmidt e quindi trovo la mia base ortogonale

ok però basta farlo con i 2 vettori citati precedentemente

"nicscap":
c) per determinare una base del complemento ortogonale devo mettere i miei tre vettori in matrice, aggiungere la colonna di zeri alla fine e con l'eliminazione di gauss ottengo la mia base del complemento ortogonale.
giusto?

devi risolvere il sistema associato a quella matrice, le soluzioni saranno i generatori del tuo complemento ortogonale, non sono sicuro trovi una base ma questa è una mia mancanza , probabilmente si trovi una base, ricorda che sei in $R^4$ quindi il tuo complemento ortogonale deve avere dimensione 2 in questo caso, spero di essere stato utile, ciao

[nicscap]

Grazie angelo!!