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il proff. dice che ci sono 3 vettori, v1(1.2.h.-1) v2(1.h+4.3-2) v3(-1.03.h) chiede quando sono l. dip. e la base e la dim. sono arrivata a trovare che sono per h=0, ma nnn capisco perche' mette che la dim. è 2 e perche ' prendre solo due vettori cioe' v1 e v3 per la dimensione, poi chiede di fare una base.
il proff. dice che ci sono 3 vettori, v1(1.2.h.-1) v2(1.h+4.3-2) v3(-1.03.h) chiede quando sono l. dip. e la base e la dim. sono arrivata a trovare che sono per h=0, ma nnn capisco perche' mette che la dim. è 2 e perche ' prendre solo due vettori cioe' v1 e v3 per la dimensione, poi chiede di fare una base.
Risposte
La matrice data dai tre vettori, se li consideriamo come righe è:
$A_h=((1,2,h,-1),(1,h+4,3,-2),(-1,0,3,h))$
Consideriamo il minore quadrato dato dalle prime tre colonne e quello dato dalle prime due colonne e dalla quarta colonna.
Dal determinante del primo minore $3(h+4)-6+h(h+4)-6=3h+12-6+h^2+4h-6=h^2+7h=h(h+7)$ viene che il rango non è massimo per $h\in{0,-7}$.
Dal determinante del secondo minore $h(h+4)+4-h-4-2h+6=h^2+4+4-h-4-2h+6=h^2-3h+10$ viene che il rango non è massimo $\forall h\in\mathbb R$.
Allora gli unici valori di $h\in\mathbb R$ che non rendono linearmente indipendenti i vettori tra di loro sono $h=0$, $h=-7$.
Notiamo che $A_0=((1,2,0,-1),(1,4,3,-2),(-1,0,3,0))=((1,2,0,-1),(-1,0,3,0),(-1,0,3,0))$, $rgA_0=2$ quindi due sono i vettori linearmente indipendenti tra i tre dati e la dimensione è 2. La base è data proprio da $<(1,2,0,-1),(-1,0,3,0)>$.
Notiamo che $rgA_{-7}=rg((1,2,-7,-1),(1,-3,3,-2),(-1,0,3,-7))=2$ in quanto esiste un minore di ordine due con determinante non nullo. Allora la dimensione è nuovamente 2 e la base è data da due vettori linearmente indipendenti della matrice. In questo caso basta prendere due righe non proporzionali della matrice, ad esempio $<(1,-3,3,-2),(-1,0,3,-7)>$.
Spero di non aver commesso errori.
$A_h=((1,2,h,-1),(1,h+4,3,-2),(-1,0,3,h))$
Consideriamo il minore quadrato dato dalle prime tre colonne e quello dato dalle prime due colonne e dalla quarta colonna.
Dal determinante del primo minore $3(h+4)-6+h(h+4)-6=3h+12-6+h^2+4h-6=h^2+7h=h(h+7)$ viene che il rango non è massimo per $h\in{0,-7}$.
Dal determinante del secondo minore $h(h+4)+4-h-4-2h+6=h^2+4+4-h-4-2h+6=h^2-3h+10$ viene che il rango non è massimo $\forall h\in\mathbb R$.
Allora gli unici valori di $h\in\mathbb R$ che non rendono linearmente indipendenti i vettori tra di loro sono $h=0$, $h=-7$.
Notiamo che $A_0=((1,2,0,-1),(1,4,3,-2),(-1,0,3,0))=((1,2,0,-1),(-1,0,3,0),(-1,0,3,0))$, $rgA_0=2$ quindi due sono i vettori linearmente indipendenti tra i tre dati e la dimensione è 2. La base è data proprio da $<(1,2,0,-1),(-1,0,3,0)>$.
Notiamo che $rgA_{-7}=rg((1,2,-7,-1),(1,-3,3,-2),(-1,0,3,-7))=2$ in quanto esiste un minore di ordine due con determinante non nullo. Allora la dimensione è nuovamente 2 e la base è data da due vettori linearmente indipendenti della matrice. In questo caso basta prendere due righe non proporzionali della matrice, ad esempio $<(1,-3,3,-2),(-1,0,3,-7)>$.
Spero di non aver commesso errori.
scusa mi aiuteresti a capire percheì' parli di righe nn proporzionali?
nell ultima parte. perche' lo sono?
nell ultima parte. perche' lo sono?
"Injo":
La matrice data dai tre vettori, se li consideriamo come righe è:
$A_h=((1,2,h,-1),(1,h+4,3,-2),(-1,0,3,h))$
Consideriamo il minore quadrato dato dalle prime tre colonne e quello dato dalle prime due colonne e dalla quarta colonna.
Dal determinante del primo minore $3(h+4)-6+h(h+4)-6=3h+12-6+h^2+4h-6=h^2+7h=h(h+7)$ viene che il rango non è massimo per $h\in{0,-7}$.
Dal determinante del secondo minore $h(h+4)+4-h-4-2h+6=h^2+4+4-h-4-2h+6=h^2-3h+10$ viene che il rango non è massimo $\forall h\in\mathbb R$.
Allora gli unici valori di $h\in\mathbb R$ che non rendono linearmente indipendenti i vettori tra di loro sono $h=0$, $h=-7$.
Notiamo che $A_0=((1,2,0,-1),(1,4,3,-2),(-1,0,3,0))=((1,2,0,-1),(-1,0,3,0),(-1,0,3,0))$, $rgA_0=2$ quindi due sono i vettori linearmente indipendenti tra i tre dati e la dimensione è 2. La base è data proprio da $<(1,2,0,-1),(-1,0,3,0)>$.
Notiamo che $rgA_{-7}=rg((1,2,-7,-1),(1,-3,3,-2),(-1,0,3,-7))=2$ in quanto esiste un minore di ordine due con determinante non nullo. Allora la dimensione è nuovamente 2 e la base è data da due vettori linearmente indipendenti della matrice. In questo caso basta prendere due righe non proporzionali della matrice, ad esempio $<(1,-3,3,-2),(-1,0,3,-7)>$.
Spero di non aver commesso errori.
Due vettori sono linearmente indipendenti se non sono proporzionali. Ovvero, dati due vettori $u$ e $w$, se $\exists\lambda:u=(u_1,u_2,u_3,u_4)=\lambda w=\lambda (w_1,w_2,w_3,w_4)=(\lambda w_1,\lambda w_2,\lambda w_3,\lambda w_4)$ allora i due vettori sono proporzionali (ovvero linearmente dipendenti).
Tanto per dirla grossolana, due vettori proporzionali sono due vettori aventi la stessa direzione ma aventi lunghezza diversa. Ad esempio $(1,0,2)$ e $(4,0,8)$ sono due vettori proporzionali. Nota che anche $(-1,0,-2)$ è proporzionale ai due precedenti pur avendo verso opposto.
Nello specifico, nell'esercizio ho considerato una base $<(1,-3,3,-2),(-1,0,3,-7)>$ perchè è facile notare che sicuramente questi due non sono proporzionali.
Infatti è facile verificare che $rg((1,-3,3,-2),(-1,0,3,-7))=2$, ovvero i due vettori sono linearmente indipendenti e quindi $\nexists\lambda\in\mathbb R : (1,-3,3,-2)=\lambda(-1,0,3,-7)=(-\lambda,0,3\lambda,-7\lambda)$, ovvero i due non sono proporzionali.
Tanto per dirla grossolana, due vettori proporzionali sono due vettori aventi la stessa direzione ma aventi lunghezza diversa. Ad esempio $(1,0,2)$ e $(4,0,8)$ sono due vettori proporzionali. Nota che anche $(-1,0,-2)$ è proporzionale ai due precedenti pur avendo verso opposto.
Nello specifico, nell'esercizio ho considerato una base $<(1,-3,3,-2),(-1,0,3,-7)>$ perchè è facile notare che sicuramente questi due non sono proporzionali.
Infatti è facile verificare che $rg((1,-3,3,-2),(-1,0,3,-7))=2$, ovvero i due vettori sono linearmente indipendenti e quindi $\nexists\lambda\in\mathbb R : (1,-3,3,-2)=\lambda(-1,0,3,-7)=(-\lambda,0,3\lambda,-7\lambda)$, ovvero i due non sono proporzionali.
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