Dimensione
Domende di teoria
1) Quanti tipi di dimensione esistono?
(Dimensione della matrice? Dimensione dello spazio vettoriale? Dimensione del sottospazio vettoriale? Dimensione del nucleo? Dimensione dell'immagine? Dimensione per lo spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo?)
2) Quali di queste dimensioni coincidono con il rango della matrice corrispondente?
ho notato che in alcuni esercizi rango e dimensione sono uguali, in altri no. Chi può spiegarmi tutto nei dettagli?
1) Quanti tipi di dimensione esistono?
(Dimensione della matrice? Dimensione dello spazio vettoriale? Dimensione del sottospazio vettoriale? Dimensione del nucleo? Dimensione dell'immagine? Dimensione per lo spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo?)
2) Quali di queste dimensioni coincidono con il rango della matrice corrispondente?
ho notato che in alcuni esercizi rango e dimensione sono uguali, in altri no. Chi può spiegarmi tutto nei dettagli?
Risposte
Ciao.
Nel caso delle matrici, la dimensione è data da $m xx n$, dove $m$ è il numero di righe della matrice e $n$ è il numero delle colonne, anche se, personalmente, non ho sentito associare frequentemente alle matrici il termine "dimensione".
La dimensione di uno spazio (o di un sottospazio) è data dal numero di vettori linearmente indipendenti che genera lo spazio stesso (o il sottospazio); questa definizione si adatta anche al nucleo e all'immagine di un'applicazione lineare, essendo nucleo e immagine particolari sottospazi vettoriali; stesso discorso per l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, insieme che rappresenta un altro particolare sottospazio vettoriale.
Il rango di una matrice coincide con la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare associata alla matrice stessa.
Il termine "dimensione" a cosa è associato, nella citazione?
Saluti.
Nel caso delle matrici, la dimensione è data da $m xx n$, dove $m$ è il numero di righe della matrice e $n$ è il numero delle colonne, anche se, personalmente, non ho sentito associare frequentemente alle matrici il termine "dimensione".
La dimensione di uno spazio (o di un sottospazio) è data dal numero di vettori linearmente indipendenti che genera lo spazio stesso (o il sottospazio); questa definizione si adatta anche al nucleo e all'immagine di un'applicazione lineare, essendo nucleo e immagine particolari sottospazi vettoriali; stesso discorso per l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, insieme che rappresenta un altro particolare sottospazio vettoriale.
Il rango di una matrice coincide con la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare associata alla matrice stessa.
"chry11":
ho notato che in alcuni esercizi rango e dimensione sono uguali, in altri no. Chi può spiegarmi tutto nei dettagli?
Il termine "dimensione" a cosa è associato, nella citazione?
Saluti.
quindi se trovo il rango di una matrice, esso coinciderà direttamente con la dimensione "solo" nel caso della dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare associata alla matrice stessa ?
non ci sono altri esempi per cui posso ricavare la dimensione direttamente dal rango?
grazie mille
non ci sono altri esempi per cui posso ricavare la dimensione direttamente dal rango?
grazie mille
Chiarisco con un esempio banale.
Sia $A=((1,2),(2,4)) in M(2 xx 2;RR)$.
Indicando con $L$ l'applicazione associata alla matrice $A$, si ha
$L:RR^2 rightarrow RR^2$, con $L(x,y)=(x+2y,2x+4y)$
Siccome vale, in questo caso, $rkA=1$, allora si ha $dimImL=1$.
Chiaro?
Saluti.
Sia $A=((1,2),(2,4)) in M(2 xx 2;RR)$.
Indicando con $L$ l'applicazione associata alla matrice $A$, si ha
$L:RR^2 rightarrow RR^2$, con $L(x,y)=(x+2y,2x+4y)$
Siccome vale, in questo caso, $rkA=1$, allora si ha $dimImL=1$.
Chiaro?
Saluti.
sisi chiaro,avevo capito 
dico è l'unico caso in cui si può ricavare la dimensione direttamente dal rango, o ci sono altri casi?
per "altri casi" intendo la dimensione "NON" dell'immagine dell'applicazione lineare associata alla matrice stessa.
dico è l'unico caso in cui si può ricavare la dimensione direttamente dal rango, o ci sono altri casi?
per "altri casi" intendo la dimensione "NON" dell'immagine dell'applicazione lineare associata alla matrice stessa.
"chry11":
non ci sono altri esempi per cui posso ricavare la dimensione direttamente dal rango?
grazie mille
$A$ $n$x$m$, $L_A :$ $ mathbb(R^m) to mathbb(R^n) $
$dim(V)=dim(ker)+dim(Im)$, poiché $dim(Im_(L_A))=r(A)$
allora $dim(ker(L_A))=m-r(A)$
dove $m=dim(V)=dim(R^m)$
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