Dim. spazio delle soluzioni per App. Lin parametrica
Ho avuto una perplessità riguardante il seguente esercizio, mi affido a qualche mente più sopraffina della mia 
.
Al variare del parametro reale $t$ sia $f_t: \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}^3 $ l’applicazione lineare definita da:
$f_t ((x_1),(x_2),(x_3)) = ((x_1 - 2x_2 - tx_3),(tx_1-x_3), (-tx_1+3x_2+x_3)) $
1. Al variare di $t in RR$, si determinino $dim(Ker(f_t))$ e $dim(Im(f_t))$
2. Al variare di $t,s in RR$, si determini la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema
$f_t ((x_1), (x_2), (x_3)) = ((0),(-2),(s))$
3. Si determinino, se esistono, i valori di $t in RR$ per cui il vettore $((3),(0),(3))$ è autovettore per $f_t$.
====================================================================================
1) Partiamo con i miei conti
$A_t = ((1,-2,-t), (t,0,-1), (-t,3,1))$ è la matrice associata all'applicazione lineare.
Calcoliamo il generico determinante lasciando $t$ parametro:
$det(A_t) = -t(-2 +3t) + (3-2t) = 2t - 3t^2 + 3 - 2t = -3t^2 + 3$
Quindi uguagliando il determinante a 0 si ottiene che:
$rank(A_t) < 3$ per $-3t^2 + 3 = 0$, cioè per $t= +-1$
ossia:
Per $t!=+-1, rank(A_t) = 3 => dim(Im(f_t)) = 3, dim(ker(f_t))=0$ <------------------------------------
Prendiamo i casi con il rango < di 3:
---------------------------------------------------------
Per $t = 1$ si ha che:
$A_1 = ((1,-2,-1),(1,0,-1),(-1,3,1))$, quindi $det(A_1) = 0$ poiché la prima colonna e la terza sono lin. dipendenti.
Prendo un minore che ha sicuramente determinante diverso da 0:
$|(1, -2),(1,0)| = -2 => rank(A_1) = 2 => dim(Im(f_1)) = 2 =>dim(Ker(f_1)) =1 $ <------------------------------------
---------------------------------------------------------
Per $t = -1$ si ha che:
$A_(-1) = ((1,-2,1),(-1,0,-1),(1,3,1))$, quindi $det(A_(-1)) = 0$ poiché la prima colonna e la terza sono lin. dipendenti.
Prendo un minore che ha sicuramente determinante diverso da 0:
$|(1, -2),(-1,0)| = -2 => rank(A_(-1)) = -2 => dim(Im(f_(-1))) = 2 =>dim(Ker(f_(-1)))=1 $ <------------------------------------
====================================================================================
Scrivo la matrice completa per applicare Rouché-Capelli.
$(A_t|b_s) = ((1,-2,-t,0), (t,0,-1,-2), (-t,3,1,s))$
Adesso dovrò confrontare i ranghi, quindi (correggetemi se mi sbaglio) dovrò conoscerne il determinante. Il determinante di una matrice rettangolare non si può calcolare. Il rango di $(A_t|b_s)$ è pari all'ordine del minore più grande avente determinante diverso da 0.
A questo punto il primo dubbio che mi sorge è il seguente: finché si tratta di matrici solamente numeriche, il tutto si riassume semplicemente in una ricerca a tentativi di un minore di ordine massimo (orlando, bla bla...). Nel caso di matrici parametriche, sarebbe alquanto oneroso andare a calcolarmi i determinanti di tutti i minori e confrontare i determinanti parametrici di ciascuno, per trovare le soluzioni comuni che annullino il polinomio. Quindi, mi è stato consigliato di
PRENDERE IL MINORE PRINCIPALE AVENTE IL MAGGIOR NUMERO DI ZERI, CALCOLARNE IL DETERMINANTE E VALUTARNE IL RANGO...
Vi risulta che sia così? Facendo questo devo escludere la seconda colonna numerica e prendere anche il maggior numero di elementi T, oppure basta che ci sia un elemento t ed uno s?
In attesa del tutto proverò a seguire la via che trovo più intuitiva e vado a calcolarmi il determinante di:
$|(-2, -t, 0),(0, -1, -2), (3,1,s)| = -2(-s+2) +3(2t) = 2s -6t - 4 $
$ det(A_t|b_s) = 0 => 2s = 4 - 6t => s = 2 - 3 t$
Facendo un'analisi in Matlab viene fuori che per $ t != +-1, rank(A_t|b_s) = 3 $, mentre mi sarei aspettato $rank(A_t|b_s) = 2 $...
Provando con $t=+-1$ invece, noto che il rango della composta è pari a 2, quindi il metodo applicato è coerente per valori di t tali da diminuire il rango della matrice $A_t$ .
Quindi come faccio io a capire se esistono valori di $s$ tali da verificare l'equazione $ det(A_t|b_s) = 0 $ per $ t!=+-1 ?
Per come è logico dedurre dall'esercizio, sarebbe un caso piuttosto interessante visto che $rank(A_t) = rank(A_t|b_s) = dim(A_t) => \infty^0 soluzioni$, ossia esiste un unica soluzione.
Qualcuno sa darmi qualche delucidazione in merito?
.Al variare del parametro reale $t$ sia $f_t: \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}^3 $ l’applicazione lineare definita da:
$f_t ((x_1),(x_2),(x_3)) = ((x_1 - 2x_2 - tx_3),(tx_1-x_3), (-tx_1+3x_2+x_3)) $
1. Al variare di $t in RR$, si determinino $dim(Ker(f_t))$ e $dim(Im(f_t))$
2. Al variare di $t,s in RR$, si determini la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema
$f_t ((x_1), (x_2), (x_3)) = ((0),(-2),(s))$
3. Si determinino, se esistono, i valori di $t in RR$ per cui il vettore $((3),(0),(3))$ è autovettore per $f_t$.
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1) Partiamo con i miei conti
$A_t = ((1,-2,-t), (t,0,-1), (-t,3,1))$ è la matrice associata all'applicazione lineare.
Calcoliamo il generico determinante lasciando $t$ parametro:
$det(A_t) = -t(-2 +3t) + (3-2t) = 2t - 3t^2 + 3 - 2t = -3t^2 + 3$
Quindi uguagliando il determinante a 0 si ottiene che:
$rank(A_t) < 3$ per $-3t^2 + 3 = 0$, cioè per $t= +-1$
ossia:
Per $t!=+-1, rank(A_t) = 3 => dim(Im(f_t)) = 3, dim(ker(f_t))=0$ <------------------------------------
Prendiamo i casi con il rango < di 3:
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Per $t = 1$ si ha che:
$A_1 = ((1,-2,-1),(1,0,-1),(-1,3,1))$, quindi $det(A_1) = 0$ poiché la prima colonna e la terza sono lin. dipendenti.
Prendo un minore che ha sicuramente determinante diverso da 0:
$|(1, -2),(1,0)| = -2 => rank(A_1) = 2 => dim(Im(f_1)) = 2 =>dim(Ker(f_1)) =1 $ <------------------------------------
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Per $t = -1$ si ha che:
$A_(-1) = ((1,-2,1),(-1,0,-1),(1,3,1))$, quindi $det(A_(-1)) = 0$ poiché la prima colonna e la terza sono lin. dipendenti.
Prendo un minore che ha sicuramente determinante diverso da 0:
$|(1, -2),(-1,0)| = -2 => rank(A_(-1)) = -2 => dim(Im(f_(-1))) = 2 =>dim(Ker(f_(-1)))=1 $ <------------------------------------
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Scrivo la matrice completa per applicare Rouché-Capelli.
$(A_t|b_s) = ((1,-2,-t,0), (t,0,-1,-2), (-t,3,1,s))$
Adesso dovrò confrontare i ranghi, quindi (correggetemi se mi sbaglio) dovrò conoscerne il determinante. Il determinante di una matrice rettangolare non si può calcolare. Il rango di $(A_t|b_s)$ è pari all'ordine del minore più grande avente determinante diverso da 0.
A questo punto il primo dubbio che mi sorge è il seguente: finché si tratta di matrici solamente numeriche, il tutto si riassume semplicemente in una ricerca a tentativi di un minore di ordine massimo (orlando, bla bla...). Nel caso di matrici parametriche, sarebbe alquanto oneroso andare a calcolarmi i determinanti di tutti i minori e confrontare i determinanti parametrici di ciascuno, per trovare le soluzioni comuni che annullino il polinomio. Quindi, mi è stato consigliato di
PRENDERE IL MINORE PRINCIPALE AVENTE IL MAGGIOR NUMERO DI ZERI, CALCOLARNE IL DETERMINANTE E VALUTARNE IL RANGO...
Vi risulta che sia così? Facendo questo devo escludere la seconda colonna numerica e prendere anche il maggior numero di elementi T, oppure basta che ci sia un elemento t ed uno s?
In attesa del tutto proverò a seguire la via che trovo più intuitiva e vado a calcolarmi il determinante di:
$|(-2, -t, 0),(0, -1, -2), (3,1,s)| = -2(-s+2) +3(2t) = 2s -6t - 4 $
$ det(A_t|b_s) = 0 => 2s = 4 - 6t => s = 2 - 3 t$
Facendo un'analisi in Matlab viene fuori che per $ t != +-1, rank(A_t|b_s) = 3 $, mentre mi sarei aspettato $rank(A_t|b_s) = 2 $...
Provando con $t=+-1$ invece, noto che il rango della composta è pari a 2, quindi il metodo applicato è coerente per valori di t tali da diminuire il rango della matrice $A_t$ .
Quindi come faccio io a capire se esistono valori di $s$ tali da verificare l'equazione $ det(A_t|b_s) = 0 $ per $ t!=+-1 ?
Per come è logico dedurre dall'esercizio, sarebbe un caso piuttosto interessante visto che $rank(A_t) = rank(A_t|b_s) = dim(A_t) => \infty^0 soluzioni$, ossia esiste un unica soluzione.
Qualcuno sa darmi qualche delucidazione in merito?
Risposte
Sono infine giunto ad conclusione... 
ho capito... a breve terminerò l'esercizio per eventuali altri utenti interessati alla fine dell'esercizio.
ho capito... a breve terminerò l'esercizio per eventuali altri utenti interessati alla fine dell'esercizio.
Ok, proseguiamo...
Intanto consiglio a chiunque si stia cimentando in questo genere di esercizio di dare una lettura a questo STUPENDO topic:
https://www.matematicamente.it/forum/alg ... 45434.html
Puntualizzo quindi dicendo che la matrice associata da me trovata è relativa alla base canonica di $RR^3$.
La cosa assurda è che mi sono risposto da solo, perché trattandosi di una matrice completa:
$(A_t|b_s) = ((1,-2,-t,0), (t,0,-1,-2), (-t,3,1,s))$
costruita aggiungendo una colonna alla matrice:
$A_t = ((1,-2,-t), (t,0,-1), (-t,3,1))$
e considerato che:
si ha che:
$rank(A_t) = 3 => rank(A_t|b_s) = 3$, poiché $A_t$ stesso è un minore della rettangolare $(A_t|b_s)$
Quindi come prima considerazione per il punto II dell'esercizio si ha che:
$AAt!=+-1 : rank(A_t) = rank(A_t|b_s) = 3 => $ il sistema ha $ \infty^(3-3)$ soluzioni, cioè un'unica soluzione. <-------------------------------
Avevamo detto che:
$|(-2, -t, 0),(0, -1, -2), (3,1,s)| = -2(-s+2) +3(2t) = 2s -6t - 4 $
$ det(A_t|b_s) = 0 => 2s = 4 - 6t => s = 2 - 3 t$
--------------------------------------------------------------------------------------------
Quindi, per $t=1$, $ det(A_1|b_s) = 0 => s = 2 - 3*1 = -1$
Se $s != -1 => rank(A_1|b_s) = 3 != rank(A_1) =>$ il sistema non ha soluzioni.
Se $s = -1$
$|(-2, -1, 0),(0, -1, -2), (3,1,-1)| = 0 $, cerco un minore con det. diverso da zero: $|(-2, -1),(0,-1)| = 2$
cioé si ha che $rank(A_1) = rank(A_1|b_(-1)) = 2 => \infty ^(3-2)= \infty $ soluzioni <-------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------
Quindi, per $t=-1$, $ det(A_(-1)|b_s) = 0 => s = 2 - 3*(-1) = 5$
Se $s != 5 => rank(A_(-1)|b_s) = 3 != rank(A_1) =>$ il sistema non ha soluzioni.
Se $s = 5$
$|(-2, 1, 0),(0, -1, -2), (3,1,5)| = 0 $, cerco un minore con det. diverso da zero: $|(-2, 1),(0,-1)| = 2$
cioé si ha che $rank(A_(-1)) = rank(A_(-1)|b_(5)) = 2 => \infty ^(3-2)= \infty $ soluzioni <-------------------------------
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3) Imposto $(A_t - \lambda I)v = 0_(RR^3) => (((1-\lambda),-2,-t), (t,-\lambda,-1), (-t,3,(1-\lambda)))((3),(0),(3)) = ((0),(0),(0))$
${(3(1 - \lambda) - 3t = 0), (3t-3 = 0), (3(1 - \lambda) - 3t = 0):} =>{(t = 1), (3 -3\lambda - 3 = 0):} => {(t=1), (\lambda = 0):}$
Quindi $(3, 0 ,3)$ è autovettore per $f_t$ con $t=1$.
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FINE! Se trovate errori vi prego di segnalarmeli perché aiuta me a capire qualcosa in più e chi è interessato allo svolgimento ad avere la risoluzione corretta. Ciao
Intanto consiglio a chiunque si stia cimentando in questo genere di esercizio di dare una lettura a questo STUPENDO topic:
https://www.matematicamente.it/forum/alg ... 45434.html
Puntualizzo quindi dicendo che la matrice associata da me trovata è relativa alla base canonica di $RR^3$.
Quindi come faccio io a capire se esistono valori di s tali da verificare l'equazione det(At|bs)=0 per t≠±1?
Per come è logico dedurre dall'esercizio, sarebbe un caso piuttosto interessante visto che rank(At)=rank(At|bs)=dim(At)⇒∞0soluzioni, ossia esiste un unica soluzione.
Qualcuno sa darmi qualche delucidazione in merito?
La cosa assurda è che mi sono risposto da solo, perché trattandosi di una matrice completa:
$(A_t|b_s) = ((1,-2,-t,0), (t,0,-1,-2), (-t,3,1,s))$
costruita aggiungendo una colonna alla matrice:
$A_t = ((1,-2,-t), (t,0,-1), (-t,3,1))$
e considerato che:
Il rango di $(A_t|b_s)$ è pari all'ordine del minore più grande avente determinante diverso da 0.
si ha che:
$rank(A_t) = 3 => rank(A_t|b_s) = 3$, poiché $A_t$ stesso è un minore della rettangolare $(A_t|b_s)$
Quindi come prima considerazione per il punto II dell'esercizio si ha che:
$AAt!=+-1 : rank(A_t) = rank(A_t|b_s) = 3 => $ il sistema ha $ \infty^(3-3)$ soluzioni, cioè un'unica soluzione. <-------------------------------
Avevamo detto che:
$|(-2, -t, 0),(0, -1, -2), (3,1,s)| = -2(-s+2) +3(2t) = 2s -6t - 4 $
$ det(A_t|b_s) = 0 => 2s = 4 - 6t => s = 2 - 3 t$
--------------------------------------------------------------------------------------------
Quindi, per $t=1$, $ det(A_1|b_s) = 0 => s = 2 - 3*1 = -1$
Se $s != -1 => rank(A_1|b_s) = 3 != rank(A_1) =>$ il sistema non ha soluzioni.
Se $s = -1$
$|(-2, -1, 0),(0, -1, -2), (3,1,-1)| = 0 $, cerco un minore con det. diverso da zero: $|(-2, -1),(0,-1)| = 2$
cioé si ha che $rank(A_1) = rank(A_1|b_(-1)) = 2 => \infty ^(3-2)= \infty $ soluzioni <-------------------------------
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Quindi, per $t=-1$, $ det(A_(-1)|b_s) = 0 => s = 2 - 3*(-1) = 5$
Se $s != 5 => rank(A_(-1)|b_s) = 3 != rank(A_1) =>$ il sistema non ha soluzioni.
Se $s = 5$
$|(-2, 1, 0),(0, -1, -2), (3,1,5)| = 0 $, cerco un minore con det. diverso da zero: $|(-2, 1),(0,-1)| = 2$
cioé si ha che $rank(A_(-1)) = rank(A_(-1)|b_(5)) = 2 => \infty ^(3-2)= \infty $ soluzioni <-------------------------------
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3) Imposto $(A_t - \lambda I)v = 0_(RR^3) => (((1-\lambda),-2,-t), (t,-\lambda,-1), (-t,3,(1-\lambda)))((3),(0),(3)) = ((0),(0),(0))$
${(3(1 - \lambda) - 3t = 0), (3t-3 = 0), (3(1 - \lambda) - 3t = 0):} =>{(t = 1), (3 -3\lambda - 3 = 0):} => {(t=1), (\lambda = 0):}$
Quindi $(3, 0 ,3)$ è autovettore per $f_t$ con $t=1$.
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FINE! Se trovate errori vi prego di segnalarmeli perché aiuta me a capire qualcosa in più e chi è interessato allo svolgimento ad avere la risoluzione corretta. Ciao
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