[DIM] Ogni intorno circolare aperto è un aperto

[redlex91-votailprof]

Sia $(X,d_X)$ uno spazio metrico e sia $x_0\in X$, ogni intorno circolare aperto di $x_0$ e raggio $\delta>0$ è un aperto.

Dim.:
Sia $B_\delta(x_0)$ l'intorno circolare aperto di $x_0$ e raggio $\delta>0$: diremo che $B_\delta(x_0)$ è un aperto se ogni suo punto è interno a $B_\delta(x_0)$ stesso, cioè per ogni $y\in B_\delta(x_0)$ esiste almeno un intorno $B_\varepsilon(y)$ che è tutto contenuto in $B_\delta(x_0)$.
Supponiamo per assurdo che $B_\delta(x_0)$ non sia aperto, cioè esiste $y_0\in B_\delta(x_0)$ per il quale nessun intorno è tutto contenuto in $B_\delta(x_0)$, esiste quindi, comunque si sceglie $\varepsilon>0$, un punto $z_0\in B_\varepsilon(y_0)$ che non appartiene a $B_\delta(x_0)$, per il quale $d_X(x_0,z_0)\geq\delta$.

Per la disuguaglianza triangolare si ha:
$d_X(x_0,z_0)\leq d_X(x_0,y_0)+d_X(y_0,z_0)$
$d_X(x_0,z_0)-\varepsilon< d_X(x_0,z_0)-d_X(y_0,z_0)\leq d_X(x_0,y_0)$

per l'arbitrarietà di $\varepsilon$ possiamo trovare $\bar{\varepsilon}$ in modo che $d_X(x_0,z_0)-\bar{\varepsilon}$ si mantenga maggiore di $\delta$, ma ciò significa:

$\delta\leq d_X(x_0,z_0)-\bar\varepsilon
il che è assurdo poiché $y_0\in B_\delta(x_0)$, e quindi $d_X(x_0,y_0)<\delta$.
c.v.d.

Quanto è scorretta?

[Gauss91]

E' giusto, ma bastava dire che se $y \in B(x_0, \delta)$ allora $B(y_0, \delta - d(x_0, y) ) $ è tutta contenuta nella palla originaria, è questa è una semplicissima disuguaglianza triangolare.

[redlex91-votailprof]

Ma $y_0$ è uno degli $y\in B_\delta(x_0)$ fissato? Potresti esplicitare la disuguaglianza triangolare? Sai, studio ingengeria e sono pure un po' tosto a capire (le due cose non essendo correlate)... Grazie in anticipo.