Dim: A matrice nxn è invertibile => rank(A) = n

[LittleHi]

Buongiorno,
la mia prof.ssa di geometria mi ha dato un teorema che dice che:
Data una matrice quadrata nxn A, A è invertibile se e solo se rank(A) = n.
Il mio problema è che non riesco a capire la dimostrazione da sinistra verso destra, cioè che se A è invertibile allora la sua caratteristica è n.
Considerando per assurdo che rank(A) < n, allora A avrà una riga di zeri nella sua riduzione totale (B):
\( (E1...Er)A = B \)
Moltiplico per l'inversa di A i due membri:
\( (E1...Er)AA^{-1} = B A^{-1} \)
\( (E1...Er)I = B A^{-1} \)
Quindi un prodotto di matrici elementari, le quali sono invertibili, deve dare una matrice invertibile. Visto, però, che B ha una riga nulla, questo è assurdo.
Non capisco l'ultimo passaggio. Come faccio a dire che se una matrice quadrata ha una riga nulla allora non è invertibile?
Grazie.

[Jokah]

"LittleHi":come faccio a dire che se una matrice quadrata ha una riga nulla allora non è invertibile?

Puoi verificarlo scrivendo il determinante rispetto a quella specifica riga (quella nulla) con la regola di Laplace.

Poiché una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da 0, qualora vi sia una riga nulla, la matrice non è invertibile.

Un altro modo per rendersene conto è questo (una volta verificato che riga nulla \(\to\) determinante nullo):

L'inversa di una matrice \(A\) lo si può calcolare come segue: L'elemento in posizione \(\{i,j\}\) della nuova matrice è dato da

\(a_{ij} = \frac{1}{det(A)}a^{ji} \)

Dove \(a^{ji}\) indica il complemento algebrico dell'elemento in posizione \(\{j,i\}\), cioè il determinante della sottomatrice ottenuta eliminanto la j-esima riga e la i-esima colonna, moltiplicato per \((-1)^{j+i}\).

Nel contesto se \(det(A)=0\) la frazione non esiste e il calcolo viene infattibile.

[LittleHi]

Capito, grazie!