Difficoltà su diagonalizzabilità
Ciao, trovo difficoltà nel risolvere l'esercizio n° 7 http://www3.unifi.it/dipmaa/raffy/Ige08/wIge6-09.pdf di cui riporto di nuovo il testo. In particolare, nello scomporre il polinomio caratteristico.
Siano $a,binR$ e sia $M=((1,3,5),(0,0,2),(b,-2,a))$ Devo studiarne la diagonalizzabilità. Quindi scrivo: $M=((1-lambda,3,5),(0,-lambda,2),(b,-2,a-lambda))$
$-lambda(a-lambda-alambda+lambda^2-5b)-2(-2+2lambda-3b)$
$lambda^3-lambda^2-alambda^2+alambda-5blambda+4lambda-4-6b$
A questo punto, come faccio a scomporlo?
Grazie, ciao!
Siano $a,binR$ e sia $M=((1,3,5),(0,0,2),(b,-2,a))$ Devo studiarne la diagonalizzabilità. Quindi scrivo: $M=((1-lambda,3,5),(0,-lambda,2),(b,-2,a-lambda))$
$-lambda(a-lambda-alambda+lambda^2-5b)-2(-2+2lambda-3b)$
$lambda^3-lambda^2-alambda^2+alambda-5blambda+4lambda-4-6b$
A questo punto, come faccio a scomporlo?
Grazie, ciao!
Risposte
"Mirino06":
Ciao, trovo difficoltà nel risolvere l'esercizio n° 7 http://www3.unifi.it/dipmaa/raffy/Ige08/wIge6-09.pdf di cui riporto di nuovo il testo. In particolare, nello scomporre il polinomio caratteristico.
Siano $a,binR$ e sia $M=((1,3,5),(0,0,2),(b,-2,a))$ Devo studiarne la diagonalizzabilità. Quindi scrivo: $M=((1-lambda,3,5),(0,-lambda,2),(b,-2,a-lambda))$
$-lambda(a-lambda-alambda+lambda^2-5b)-2(-2+2lambda-3b)$
$lambda^3-lambda^2-alambda^2+alambda-5blambda+4lambda-4-6b$
A questo punto, come faccio a scomporlo?
Grazie, ciao!
Tanto per incominciare comincia a metterlo nella forma [tex]\lambda^3 - (a+1) \lambda^2 + (a-5b+4) \lambda - (6b+4)[/tex].
Da qui prova ad utilizzare questo fatto http://it.wikipedia.org/wiki/Somme_di_p ... _polinomio
Mi devo ricondurre quindi a $ x^3 − Sx^2 + Qx − P $?
Ti ho già portato io raccogliendo i termini.
Quello che ricavi sarebbero le equazioni:
[tex](a+1) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3[/tex]
[tex](a- 5b +4) = \lambda_1\lambda_2 + \lambda_1\lambda_3 + \lambda_2\lambda_3[/tex]
[tex]2(3b+2) = \lambda_1\lambda_2\lambda_3[/tex]
dove [tex]\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3[/tex] sono le 3 radici complesse del polinomio caratteristico
Quello che ricavi sarebbero le equazioni:
[tex](a+1) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3[/tex]
[tex](a- 5b +4) = \lambda_1\lambda_2 + \lambda_1\lambda_3 + \lambda_2\lambda_3[/tex]
[tex]2(3b+2) = \lambda_1\lambda_2\lambda_3[/tex]
dove [tex]\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3[/tex] sono le 3 radici complesse del polinomio caratteristico
Quindi si tratta di risolvere questo sistema e ricavare $lambda_1,lambda_2,lambda_3$?
"Mirino06":
Quindi si tratta di risolvere questo sistema e ricavare $lambda_1,lambda_2,lambda_3$?
E si...potresti anche pensare di cercarti delle soluzioni ad ok...ad esempio pensa che almeno una soluzione deve esser reale...
se solo una è reale allora le altre sono coniugate tra loro...
Ma forse con un po di manopolazione algebrica riesci a fare direttamente il conto...
Ho provato a risolvere il sistema, però vengono fuori conti enormi radici.
Mi trovo a risolvere l'esercizio n° 3 http://www.unifi.it/dipmaa/raffy/IME/ime5web.pdf
Anche in questo caso ottengo un polinomio caratteristico di terzo grado: $lambda^3-lambda^2(2a+1)+lambda(a^2+2a-5)-(a^2-4a-1)$ Però non so come scomporlo.
Anche in questo caso ottengo un polinomio caratteristico di terzo grado: $lambda^3-lambda^2(2a+1)+lambda(a^2+2a-5)-(a^2-4a-1)$ Però non so come scomporlo.
Ammetto che non avevo letto il problema iniziale... Ma ora mi rendo conto che non avevamo preso in considerazione un dato: tu devi prendere in considerazione le $M$ per cui $1$ è autovalore. Quindi tu sai che il polinomio caratteristico si annulla in $1$... Da quello potresti poter ricavare $b$ da $a$ oppure $a$ da $b$ riducendo le incognite. Il sistema ponendo $\lambda_1 = 1$ e rendendo $b$ una funzione di $a$ si semplifica parecchio.
Riguardo al secondo tu devi determinare quanto $2$ è un autovalore, in altra parole quando il polinomio caratteristico si annulla in $-2$... Anzi probabilmente non è neanche necessario ricavare i volori ma calcolare il discriminante del polinomio di secondo grado che ricavi.
Riguardo al secondo tu devi determinare quanto $2$ è un autovalore, in altra parole quando il polinomio caratteristico si annulla in $-2$... Anzi probabilmente non è neanche necessario ricavare i volori ma calcolare il discriminante del polinomio di secondo grado che ricavi.
Riguardo il primo esercizio, ho provato a cercare una strada alternativa.
Ho sotituito $1$ nel polinomio caratteristico. Ho trovato che $b=0$
Ho scritto quindi $lambda^3-(a+1)lambda^2+(a+4)lambda-4=0$ Ho scomposto, quindi ottengo $(lambda^2-alambda+4)(lambda-1)=0$
$lambda_1=1, lambda_2=(a+sqrt(a^2-16))/2, lambda_3=(a-sqrt(a^2-16))/2$
Se $Delta>0$ è diagonalizzabile, perché trovo tre autovalori distinti.
Sostituisco $lambda_1$ a $(lambda^2-alambda+4)$ Trovo $a=5$
$dimV_1=3-rg((0,3,5),(0,-1,2),(0,-2,4))$ Il rango è 2, quindi è diagonalizzabile se e solo se $a>|4| $e $a!=5$
È corretto?
Per quanto riguarda invece il secondo esercizio, ho sosituito $-2$ al posto di $lambda$ nel polinomio caratteristico, ho trovato $3a^2+8a+1=0$ Ho ricavato i valori di $a$, cioè $a_(1*2)=(-4+-sqrt13)/3$ Ho concluso quindi che la matrice ammette $-2$ come autovalore per due valori distinti di $a$. È corretto il procedimento?
Ho sotituito $1$ nel polinomio caratteristico. Ho trovato che $b=0$
Ho scritto quindi $lambda^3-(a+1)lambda^2+(a+4)lambda-4=0$ Ho scomposto, quindi ottengo $(lambda^2-alambda+4)(lambda-1)=0$
$lambda_1=1, lambda_2=(a+sqrt(a^2-16))/2, lambda_3=(a-sqrt(a^2-16))/2$
Se $Delta>0$ è diagonalizzabile, perché trovo tre autovalori distinti.
Sostituisco $lambda_1$ a $(lambda^2-alambda+4)$ Trovo $a=5$
$dimV_1=3-rg((0,3,5),(0,-1,2),(0,-2,4))$ Il rango è 2, quindi è diagonalizzabile se e solo se $a>|4| $e $a!=5$
È corretto?
Per quanto riguarda invece il secondo esercizio, ho sosituito $-2$ al posto di $lambda$ nel polinomio caratteristico, ho trovato $3a^2+8a+1=0$ Ho ricavato i valori di $a$, cioè $a_(1*2)=(-4+-sqrt13)/3$ Ho concluso quindi che la matrice ammette $-2$ come autovalore per due valori distinti di $a$. È corretto il procedimento?
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