Difficoltà nel comprendere lo spazio polinomiale e i suoi vettori
Buonasera cari utenti.
Mi accorgo avendo svolto qualche esercizio di avere un problema nel comprendere il concetto dicosa sia il vettore nello spazio dei polinomi di grando n. $R_n [X]$
Il dubbio mi nasce perché in alcuni esercizi per vedere se tre vettori sono linearmente indipendenti si impone,come di prassi
es:
$a((1),(0),(0))=b((0),(2),(0))+c((0),(0),(1))=((0),(0),(0))$ e si valuta se a,b,c soddisfino tale relazione solo quando sono nulli. In sostanza a andrà a moltiplicare l'1, il bil 2 ecc.. quindi i coefficienti interagiscono con ogni numero della n-upla vettore.
Nello spazio dei polinomi invece prendiamo una base $1+bx+cx^2$, voglio verificare se è uguale al vettore nullo $0+0x+0x^2$ bene in questo caso i coefficienti della composizione lineare "operano" solo sui coefficienti delle incognite:
es: $m*(1)+l*(bx)+k(cx^2)=0+0x+0x^2$ e non sulle x. In effetti se il vettore nullo fosse $0+0+0$ in tal caso noto che anche un valore di x (in cui vale come caso particolare 0) mi genererebbe $0+0+0$.
A questo punto mi stona, non riesco cioè a trovare un parallelismo vero e proprio tra quanto succedeva nel primo esempio e tra quanto succede nel secondo dello spazio polinomiale di un certo grado n:infatti nel primo esempio "a" andava ad operare su tutto il valore 1 che èin prima posizione del vettore n-upla per restituirmi uno "0" a secondo membro dell'uguaglianza, nel polinomiale va ad operare m solo su c (coefficiente di x^2) non su tutto il vettore (cx^2).
Diciamo che non riesco bene a raccapezzarmi perché non riesco a capire il vettore (come entità) in questo caso cosa sia. Il vettore è il coefficiente delle x (gli $a_i$)? O è il valore che esce da $a_i⋅x^n$?
Così anche non comprendo bene come scrivere un vettore di questi spazi con le componenti rispetto una sua base, riassumendo il triplice dubbio:
-le componenti dovrei scrivere come coefficiente del coefficiente es: $2⋅a_0+3⋅a_1x+4⋅a_2 x^2$
-oppure devo immaginare come se fosse il vettore fosse il valore numerico che esce da $a_i⋅x^n$ attribuendo alle x tutti i valori Reali possibili, e il vettore non è solo il coefficiente ma il valore e quindi avrei $2⋅(a_0)+3⋅(a_1*x)+4⋅(a_2*x^2)$
-oppure altra interpretazione ancora: i coefficienti $a_i$ sono i vettori..
Spero in qualche risposta, perché è un dubbio che ho da qualche giorno e ci sto uscendo pazzo
Ringrazio
Mi accorgo avendo svolto qualche esercizio di avere un problema nel comprendere il concetto dicosa sia il vettore nello spazio dei polinomi di grando n. $R_n [X]$
Il dubbio mi nasce perché in alcuni esercizi per vedere se tre vettori sono linearmente indipendenti si impone,come di prassi
es:
$a((1),(0),(0))=b((0),(2),(0))+c((0),(0),(1))=((0),(0),(0))$ e si valuta se a,b,c soddisfino tale relazione solo quando sono nulli. In sostanza a andrà a moltiplicare l'1, il bil 2 ecc.. quindi i coefficienti interagiscono con ogni numero della n-upla vettore.
Nello spazio dei polinomi invece prendiamo una base $1+bx+cx^2$, voglio verificare se è uguale al vettore nullo $0+0x+0x^2$ bene in questo caso i coefficienti della composizione lineare "operano" solo sui coefficienti delle incognite:
es: $m*(1)+l*(bx)+k(cx^2)=0+0x+0x^2$ e non sulle x. In effetti se il vettore nullo fosse $0+0+0$ in tal caso noto che anche un valore di x (in cui vale come caso particolare 0) mi genererebbe $0+0+0$.
A questo punto mi stona, non riesco cioè a trovare un parallelismo vero e proprio tra quanto succedeva nel primo esempio e tra quanto succede nel secondo dello spazio polinomiale di un certo grado n:infatti nel primo esempio "a" andava ad operare su tutto il valore 1 che èin prima posizione del vettore n-upla per restituirmi uno "0" a secondo membro dell'uguaglianza, nel polinomiale va ad operare m solo su c (coefficiente di x^2) non su tutto il vettore (cx^2).
Diciamo che non riesco bene a raccapezzarmi perché non riesco a capire il vettore (come entità) in questo caso cosa sia. Il vettore è il coefficiente delle x (gli $a_i$)? O è il valore che esce da $a_i⋅x^n$?
Così anche non comprendo bene come scrivere un vettore di questi spazi con le componenti rispetto una sua base, riassumendo il triplice dubbio:
-le componenti dovrei scrivere come coefficiente del coefficiente es: $2⋅a_0+3⋅a_1x+4⋅a_2 x^2$
-oppure devo immaginare come se fosse il vettore fosse il valore numerico che esce da $a_i⋅x^n$ attribuendo alle x tutti i valori Reali possibili, e il vettore non è solo il coefficiente ma il valore e quindi avrei $2⋅(a_0)+3⋅(a_1*x)+4⋅(a_2*x^2)$
-oppure altra interpretazione ancora: i coefficienti $a_i$ sono i vettori..
Spero in qualche risposta, perché è un dubbio che ho da qualche giorno e ci sto uscendo pazzo
Ringrazio
Risposte
"staultz":
[...] Nello spazio dei polinomi invece prendiamo una base $a+bx+cx^2$ [...]
Questa non è una base. Cerco di farla semplice: se consideri, per esempio, lo spazio (vettoriale) dei polinomi a coefficienti reali e di grado \(\le n \), una sua base sarà \( \{1,x,x^2, \dots , x^n \} \); puoi identificare ogni elemento di questo insieme con una \(n+1\)-upla del tipo \( (0,0, \dots , 0,1 , 0, \dots ,0) \). Nella fattispecie \[\begin{matrix} 1 \mapsto (1,0,0 , \dots ,0) \\ x \mapsto (0,1,0, \dots , 0) \\ \vdots \\ x^n \mapsto (0,0,\dots,0,1). \end{matrix}\]Un polinomio del tipo \(a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n \) sarà (confondo vettori riga e vettori colonna) quindi, nel "linguaggio delle \(n+1\)-uple", \[\begin{pmatrix} a_0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ a_1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}.\]
Prima di tutto grazie mille per la risposta.
Hai ragione, ho sbagliato, una base è ${1,x,x^2, \dots , x^n \} $ ed è nella fattispecie base canonica.
Mi dicevi che
\[\begin{matrix} 1 \mapsto (1,0,0 , \dots ,0) \\ x \mapsto (0,1,0, \dots , 0) \\ \vdots \\ x^n \mapsto (0,0,\dots,0,1). \end{matrix}\]
però mi rimane il dubbio, nel senso, nella canonica la parte che considero come "vettore" è il coefficiente $1$ della $x^0$, della $x$, della $x^2$.
Ma se avessi un vettore ${3,4x,2x^2} $ in questo caso non capisco se devo considerare come entità $2x^2$ o solo $2$.
Spero di essermi spiegato meglio
Buona domenica.
Hai ragione, ho sbagliato, una base è ${1,x,x^2, \dots , x^n \} $ ed è nella fattispecie base canonica.
Mi dicevi che
\[\begin{matrix} 1 \mapsto (1,0,0 , \dots ,0) \\ x \mapsto (0,1,0, \dots , 0) \\ \vdots \\ x^n \mapsto (0,0,\dots,0,1). \end{matrix}\]
però mi rimane il dubbio, nel senso, nella canonica la parte che considero come "vettore" è il coefficiente $1$ della $x^0$, della $x$, della $x^2$.
Ma se avessi un vettore ${3,4x,2x^2} $ in questo caso non capisco se devo considerare come entità $2x^2$ o solo $2$.
Spero di essermi spiegato meglio
Buona domenica.
Sia $f:RR_(<=n)[x] -> RR^(n+1)$,
$mathcal(E)={1, x, ..., x^n}$ base canonica di $RR_(<=n)[x]$
un isomorfismo, dallo spazio dei polinomi allo spazio dei vettori, è definito come segue:
dove $[*]_E$ indica le componenti del polinomio rispetto alla base canonica.
$mathcal(E)={1, x, ..., x^n}$ base canonica di $RR_(<=n)[x]$
un isomorfismo, dallo spazio dei polinomi allo spazio dei vettori, è definito come segue:
$a_0+a_1x+x_2x^2+...+a_nx^n ->[a_0+a_1x+x_2x^2+...+a_nx^n ]_E=((a_0),(a_1),(a_2),(vdots),(a_n))$
dove $[*]_E$ indica le componenti del polinomio rispetto alla base canonica.
Grazie ancora.
Comunque il vettore nullo è $0*a+0*x+0*x^2$ e non $0+0+0$ giusto? Perché pensavo: nel caso particolare in cui x avesse valore 0, se fosse il nullo 0+0+0 potrei ottenere una combinazione lineare che mi dà 0+0+0 con coefficienti di una combinazione lineare non tutti nulli e invece $1+x+x^2$ è in teoria linearmente indipendente.
Comunque il vettore nullo è $0*a+0*x+0*x^2$ e non $0+0+0$ giusto? Perché pensavo: nel caso particolare in cui x avesse valore 0, se fosse il nullo 0+0+0 potrei ottenere una combinazione lineare che mi dà 0+0+0 con coefficienti di una combinazione lineare non tutti nulli e invece $1+x+x^2$ è in teoria linearmente indipendente.
La fonte della confusione tua e di tutti è identificare polinomi e funzioni polinomiali. Le due cose vanno tenute distinte.
Grazie, provo a fissaremeglio il concetto allora, in effetti non mi è mai stato formalizzato bene, ora ci guardo subito. Grazie della dritta.
Mentre per:
Se non erro, ho capito giusto? (la tautologia è voluta XD)
Grazie ancora ragazzi!
Mentre per:
"staultz":
Grazie ancora.
Comunque il vettore nullo è $0*a+0*x+0*x^2$ e non $0+0+0$ giusto? Perché pensavo: nel caso particolare in cui x avesse valore 0, se fosse il nullo 0+0+0 potrei ottenere una combinazione lineare che mi dà 0+0+0 con coefficienti di una combinazione lineare non tutti nulli e invece $1+x+x^2$ è in teoria linearmente indipendente.
Se non erro, ho capito giusto? (la tautologia è voluta XD)
Grazie ancora ragazzi!
Sì è corretto, devi lavorare con i coefficienti - nella fattispecie credo che l'osservazione di k_b sia di estremo rilievo per quanto concerne il tuo dubbio.
Visto che mi sembra capitale stabilire questa differenza, lo dico meglio: un polinomio è una funzione $\mathbb N\to \mathbb R$ che è diversa da zero per al più un numero finito di valori; in quanto tale è uno spazio vettoriale su $\mathbb R$ (ed è esattamente lo spazio vettoriale $\mathbb R^\infty$ la cua base canonica è fatta da $\delta_{n} : \mathbb N\to \mathbb R$ che vale 1 su $n$ e zero altrove).
Una scrittura comoda per un polinomio è $\sum a_i X^i$, ma qui "$X^i$" è unicamente un segnaposto, e la base canonica è fatta da $\{1,X,X^2, X^3,...\}$.
Questa notazione segnaposto è però utile nel momento in cui guardi lo stesso spazio vettoriale come uno spazio di funzioni: una funzione polinomiale è una funzione $\mathbb R\to\mathbb R$ definita dalla regola
\[
t\mapsto \sum a_i t^i
\] Nota che ora tutto avviene come se la funzione polinomiale fosse esattamente la valutazione di $\sum a_i X^i$ nel numero reale $t$.
Una scrittura comoda per un polinomio è $\sum a_i X^i$, ma qui "$X^i$" è unicamente un segnaposto, e la base canonica è fatta da $\{1,X,X^2, X^3,...\}$.
Questa notazione segnaposto è però utile nel momento in cui guardi lo stesso spazio vettoriale come uno spazio di funzioni: una funzione polinomiale è una funzione $\mathbb R\to\mathbb R$ definita dalla regola
\[
t\mapsto \sum a_i t^i
\] Nota che ora tutto avviene come se la funzione polinomiale fosse esattamente la valutazione di $\sum a_i X^i$ nel numero reale $t$.
Grazie ragazzi, vi ringrazio moltissimo!
Finalmente mi pare di inziare a muovermi in modo migliore in questi spazi....
Dato che credo fermamente la teoria si fissi bene con gli esercizi mi piacerebbe ricapitolare un po' quanto detto fino ad ora con un esercizio. Ho le soluzioni e mi è venuto, però troppo spesso mi sembra di andare più a intuito rispetto a una base forte teorica.... eppure sto seguendo il Lang ma tutte queste cose dalla teoria seppure ben enunciata io non le avevo capite sinceramente.
L'erercizio che mi piacerebbe proporvi è questo:
In $R_3 [x]$, considerati i polinomi:
$p1(x) = x-(1+h)x2; p2(x) = h+x; p3(x) = 1-x3; p4(x) = 4x$;
con h nei R; determinare i valori di h per cui $(p1(x); p2(x); p3(x); p4(x))$
è una base di R3[x]:
2: Fissato uno dei valori di h determinati nel punto precedente, trovare le componenti
di $q(x) = 1+x+x2+x3$ rispetto a tale base.
In realtà il secondo punto l'ho trovato più facile come concetti rispetto al primo.
Iniziamo dall'uno, io ho pensato di fare così:
Ho creato un isomorfismo grazie alle vostre dritte e ho ottenuto
$P(1)=((-1),(0),(-1+h),(0)); P(2)=((h),(1),(0),(0)), P(3)=((1),(0),(0),(-1)), P(4)=((0),(4),(0),(0))$
A questo punto so che essendo un $R_3 [x]$ Ha dimensione 4 e quindi mi aspetto quei 4 vettori linearmente indipendenti, creo così una matrice con quei vettori e impongo che siano indipendenti,come?
Beh posso fare una riduzione con gauss e mettere h in modo che non faccia scendere di rango la matrice, oppure mi è parso più semplice con Laplace e imporre determinante diverso da zero.
E in effetti mi viene per h diverso da 0 e -1(che è il risultato).
Non mi piace peròlavorare su isomorfismi di n-uple, mi chiedevo se ci fosse altro modo per svolgerlo senza dover creare la matrice e tutto quanto ma lavorando solo sullo spazio polinomiale.
Grazie
Finalmente mi pare di inziare a muovermi in modo migliore in questi spazi....
Dato che credo fermamente la teoria si fissi bene con gli esercizi mi piacerebbe ricapitolare un po' quanto detto fino ad ora con un esercizio. Ho le soluzioni e mi è venuto, però troppo spesso mi sembra di andare più a intuito rispetto a una base forte teorica.... eppure sto seguendo il Lang ma tutte queste cose dalla teoria seppure ben enunciata io non le avevo capite sinceramente.
L'erercizio che mi piacerebbe proporvi è questo:
In $R_3 [x]$, considerati i polinomi:
$p1(x) = x-(1+h)x2; p2(x) = h+x; p3(x) = 1-x3; p4(x) = 4x$;
con h nei R; determinare i valori di h per cui $(p1(x); p2(x); p3(x); p4(x))$
è una base di R3[x]:
2: Fissato uno dei valori di h determinati nel punto precedente, trovare le componenti
di $q(x) = 1+x+x2+x3$ rispetto a tale base.
In realtà il secondo punto l'ho trovato più facile come concetti rispetto al primo.
Iniziamo dall'uno, io ho pensato di fare così:
Ho creato un isomorfismo grazie alle vostre dritte e ho ottenuto
$P(1)=((-1),(0),(-1+h),(0)); P(2)=((h),(1),(0),(0)), P(3)=((1),(0),(0),(-1)), P(4)=((0),(4),(0),(0))$
A questo punto so che essendo un $R_3 [x]$ Ha dimensione 4 e quindi mi aspetto quei 4 vettori linearmente indipendenti, creo così una matrice con quei vettori e impongo che siano indipendenti,come?
Beh posso fare una riduzione con gauss e mettere h in modo che non faccia scendere di rango la matrice, oppure mi è parso più semplice con Laplace e imporre determinante diverso da zero.
E in effetti mi viene per h diverso da 0 e -1(che è il risultato).
Non mi piace peròlavorare su isomorfismi di n-uple, mi chiedevo se ci fosse altro modo per svolgerlo senza dover creare la matrice e tutto quanto ma lavorando solo sullo spazio polinomiale.
Grazie
"killing_buddha":
Visto che mi sembra capitale stabilire questa differenza, lo dico meglio: un polinomio è una funzione $\mathbb N\to \mathbb R$ che è diversa da zero per al più un numero finito di valori; in quanto tale è uno spazio vettoriale su $\mathbb R$ (ed è esattamente lo spazio vettoriale $\mathbb R^\infty$ la cua base canonica è fatta da $\delta_{n} : \mathbb N\to \mathbb R$ che vale 1 su $n$ e zero altrove).
Una scrittura comoda per un polinomio è $\sum a_i X^i$, ma qui "$X^i$" è unicamente un segnaposto, e la base canonica è fatta da $\{1,X,X^2, X^3,...\}$.
Questa notazione segnaposto è però utile nel momento in cui guardi lo stesso spazio vettoriale come uno spazio di funzioni: una funzione polinomiale è una funzione $\mathbb R\to\mathbb R$ definita dalla regola
\[
t\mapsto \sum a_i t^i
\] Nota che ora tutto avviene come se la funzione polinomiale fosse esattamente la valutazione di $\sum a_i X^i$ nel numero reale $t$.
Conflittato ma leggo subito, grazie!!
"staultz":
L'erercizio che mi piacerebbe proporvi è questo:
In $R_3 [x]$, considerati i polinomi:
$p1(x) = x-(1+h)x2; p2(x) = h+x; p3(x) = 1-x3; p4(x) = 4x$;
con h nei R; determinare i valori di h per cui $(p1(x); p2(x); p3(x); p4(x))$
è una base di R3[x]:
2: Fissato uno dei valori di h determinati nel punto precedente, trovare le componenti
di $q(x) = 1+x+x2+x3$ rispetto a tale base.
In realtà il secondo punto l'ho trovato più facile come concetti rispetto al primo.
Iniziamo dall'uno, io ho pensato di fare così:
Ho creato un isomorfismo grazie alle vostre dritte e ho ottenuto
$P(1)=((-1),(0),(-1+h),(0)); P(2)=((h),(1),(0),(0)), P(3)=((1),(0),(0),(-1)), P(4)=((0),(4),(0),(0))$
A questo punto so che essendo un $R_3 [x]$ Ha dimensione 4 e quindi mi aspetto quei 4 vettori linearmente indipendenti, creo così una matrice con quei vettori e impongo che siano indipendenti,come?
Beh posso fare una riduzione con gauss e mettere h in modo che non faccia scendere di rango la matrice, oppure mi è parso più semplice con Laplace e imporre determinante diverso da zero.
E in effetti mi viene per h diverso da 0 e -1(che è il risultato).
Non mi piace peròlavorare su isomorfismi di n-uple, mi chiedevo se ci fosse altro modo per svolgerlo senza dover creare la matrice e tutto quanto ma lavorando solo sullo spazio polinomiale.
Grazie
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"Magma":
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yep
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