Difficoltà con kernel di applicazione lineare

[shantani]

Ciao a tutti!!
Ho una difficoltà con la seguente applicazione lineare g: R4->R4, rappresentata rispetto alla base canonica dalla matrice
0 1 4 1
2 1 0 1
0 0 0 0
0 3 2 0

chiaramente ho provato a risolvere il sistema associato, ma essendo un sistema di 4 equazioni in 3 incognite non so come risolverlo.

Potevo usare anche il teorema del rango che mi dice che il numero di colonne di una matrice è uguale al rango della matrice sommato alla dimensione del kernel.

In questo caso, secondo http://www.federicobonfigli.com/calcolorango.aspx il rango è 3, le colonne della matrice sono 4 e di conseguenza la dimensione del nucleo dovrebbe essere 1.

Poi per trovare la dimensione dell'immagine uso il teorema che mi dice che la dimensione dello spazio vettoriale (4) equivale alla dimensione del kernel (??) + la dimensione dell'immagine.

Grazie in anticipo

[Gi81]

\[A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 3 & 2 &0 \end{pmatrix} \]
Come hai detto tu, il rango di $A$ è $3$. Questo ci dice che \(\displaystyle \text{dim} \biggl(\text{Im} \bigl(g\bigr) \biggr)=3\) e \(\displaystyle \text{dim} \biggl(\text{Ker} \bigl(g\bigr) \biggr)=1\).

Infatti

[*:2otjqd47]la dimensione dell'immagine di una applicazione lineare è pari al rango della matrice corrispondente[/*:m:2otjqd47]
[*:2otjqd47] per il teorema del rango vale la seguente:
se \(\displaystyle f: \mathbb{K}\rightarrow \mathbb{M} \) è un'applicazione lineare tra gli spazi vettoriali \(\displaystyle \mathbb{K} \) e \(\displaystyle \mathbb{M} \), allora \[ \text{dim} \biggl(\text{Ker} \bigl(f\bigr) \biggr)+\biggl(\text{Im} \bigl(f\bigr) \biggr) = \text{dim}\left( \mathbb{K}\right)\]
Nel nostro caso, \(\displaystyle \mathbb{K}= \mathbb{M}= \mathbb{R}^4\).[/*:m:2otjqd47][/list:u:2otjqd47]

[shantani]

e se avessi voluto trovare il nucleo con il sistema?!
ottengo
${(x=-3k/5),(y=k/5),(z=-3k/10):}$

da qui come posso arrivare a dire che la dimensione è $1$?

Inoltre, questa matrice rappresenta una app.lineare rispetto ad una base canonica (quindi immagino 1000 0100 0010 0001).
Ma di preciso cosa vuol dire "rispetto a"?

In altri esercizi ho applicazioni lineari rappresentate da DUE basi (100, 010, 001) e (001, 011, 111). Cosa cambia?!

Sto facendo geometria1 per sport, e mi sto pentendo di aver fatto l'esame di algebra in maniera superficiale.. non avevo ancora capito che queste cose mi piacciono!
Grazie!

[Camillo]

Le incognite che hai trovato $x,y,z $ risolvendo il sistema lineare omogeneo ,dipendono da un solo parametro $ k $ , quindi ker ha dimensione 1 .

[shantani]

azz, è vero! ho visto male gli esercizi svolti in passato!!!
grazie!