Difficoltà con esercizi sugli spazi vettoriali
Ciao a tutti
ho un paio di esercizi sugli spazi vettoriali che mi in cui mi trovo un po' in difficoltà e spero che qualcuno mi possa dare un suggerimento su come proseguire
il primo esercizio mi da quattro vettori
$v_1 = (3,0,4), v_2 = (1,2,0), v_3 = (2,-2,4), v_4 =(4,2,4)$
per prima cosa mi chiede di trovare la dimensione di $W = L(v_1,v_2,v_3,v_4)$
e fin qui nessun problema, ho trovato che ha dimensione 2 e coincide con il risultato
poi mi chiede di trovare la base $B'$ che mi viene
[tex]\displaystyle B' = \left( \left( \frac{3}{5}, 0 , \frac{4}{5} \right) , \left( \frac{8}{5 \sqrt{29}}, \frac{5}{\sqrt{29}} , -\frac{6}{5 \sqrt{29}} \right) \right)[/tex]
che anche questa coincide con il risultato
poi però mi chiede di completare $B'$ in modo tale da ottenere una base ortonormale $D$ in $R^3$
per fare questo ho pensato di utilizzare Gram-Schmidt per trovare il terzo elemento della base
per fare questo ho trovato
$u_1 = v_1$
$u_2 = v_2 - (\langle v_2 , u_1 \rangle)/(\langle u_1 , u_1 \rangle) u_1 $
$u_3 = v_3 - (\langle v_3 , u_1 \rangle)/(\langle u_1 , u_1 \rangle) u_1 - (\langle v_3 , u_2 \rangle)/(\langle u_2 , u_2 \rangle) u_2 $
da cui poi eventualmente ricaverei $e_1, e_2$ e $e_3$ dividendo i vettori $u$ per il loro modulo
il problema è che $u_3$ mi viene sempre nullo, e non sto capendo quale sia l'errore concettuale che sto facendo. Non credo che sia un errore di calcolo perchè ho rifatto i calcoli parecchie volte e mi viene sempre lo stesso risultato.
Per quanto riguarda il secondo esercizio invece mi vengono dati gli spazi
$U = {(x,y,z,t) \in R^4 | 2x-y+t=z-t = 0}$
$V = {(x,y,z,t) \in R^4 | x+y=y-z=x+t=0}$
quindi io ho pensato di vedere lo spazio $U$ come
$U = ( (x),(2x+t),(t),(t) )$, $V = ( (-t),(t),(t),(t) ) = t( (-1),(1),(1),(1) )$
la dimensione di $U$ è 2 e la dimensione di $V$ è 1 (credo, spero di non aver sbagliato i ragionamenti)
viene chiesto di dimostrare che $U+V$ è una somma diretta
sto cercando di dimostrare che $dim(U+V) = dim(U) + dim(V)$
e che $dim (U \cap V) = 0$
$U+V = ( (x-t),(2x+2t),(2t),(2t) ) $
la cui dimensione (sempre che non sbagli anche qui) è 2, pertanto dimostrerebbe già che la somma non è diretta
sicuramente sbaglio qualche ragionamento
SOS!
ho un paio di esercizi sugli spazi vettoriali che mi in cui mi trovo un po' in difficoltà e spero che qualcuno mi possa dare un suggerimento su come proseguire
il primo esercizio mi da quattro vettori
$v_1 = (3,0,4), v_2 = (1,2,0), v_3 = (2,-2,4), v_4 =(4,2,4)$
per prima cosa mi chiede di trovare la dimensione di $W = L(v_1,v_2,v_3,v_4)$
e fin qui nessun problema, ho trovato che ha dimensione 2 e coincide con il risultato
poi mi chiede di trovare la base $B'$ che mi viene
[tex]\displaystyle B' = \left( \left( \frac{3}{5}, 0 , \frac{4}{5} \right) , \left( \frac{8}{5 \sqrt{29}}, \frac{5}{\sqrt{29}} , -\frac{6}{5 \sqrt{29}} \right) \right)[/tex]
che anche questa coincide con il risultato
poi però mi chiede di completare $B'$ in modo tale da ottenere una base ortonormale $D$ in $R^3$
per fare questo ho pensato di utilizzare Gram-Schmidt per trovare il terzo elemento della base
per fare questo ho trovato
$u_1 = v_1$
$u_2 = v_2 - (\langle v_2 , u_1 \rangle)/(\langle u_1 , u_1 \rangle) u_1 $
$u_3 = v_3 - (\langle v_3 , u_1 \rangle)/(\langle u_1 , u_1 \rangle) u_1 - (\langle v_3 , u_2 \rangle)/(\langle u_2 , u_2 \rangle) u_2 $
da cui poi eventualmente ricaverei $e_1, e_2$ e $e_3$ dividendo i vettori $u$ per il loro modulo
il problema è che $u_3$ mi viene sempre nullo, e non sto capendo quale sia l'errore concettuale che sto facendo. Non credo che sia un errore di calcolo perchè ho rifatto i calcoli parecchie volte e mi viene sempre lo stesso risultato.
Per quanto riguarda il secondo esercizio invece mi vengono dati gli spazi
$U = {(x,y,z,t) \in R^4 | 2x-y+t=z-t = 0}$
$V = {(x,y,z,t) \in R^4 | x+y=y-z=x+t=0}$
quindi io ho pensato di vedere lo spazio $U$ come
$U = ( (x),(2x+t),(t),(t) )$, $V = ( (-t),(t),(t),(t) ) = t( (-1),(1),(1),(1) )$
la dimensione di $U$ è 2 e la dimensione di $V$ è 1 (credo, spero di non aver sbagliato i ragionamenti)
viene chiesto di dimostrare che $U+V$ è una somma diretta
sto cercando di dimostrare che $dim(U+V) = dim(U) + dim(V)$
e che $dim (U \cap V) = 0$
$U+V = ( (x-t),(2x+2t),(2t),(2t) ) $
la cui dimensione (sempre che non sbagli anche qui) è 2, pertanto dimostrerebbe già che la somma non è diretta
sicuramente sbaglio qualche ragionamento
SOS!
Risposte
Rispondo sul primo esercizio. Non ho usato Gram-Schmidt.
Abbiamo i due vettori della base: $u_1 = 1/5 [(3),(0),(4)]$, $u_2=1/(5 sqrt29 )[(8),(25),(-6)]$
Notiamo che hanno entrambi norma $1$ e sono tra loro ortogonali.
Quindi ci basta trovare $u_3= [(a),(b),(c)]$ che sia di norma $1$ e ortogonale sia a $u_1$ sia a $u_2$
Dunque deve valere ${(a^2+b^2+c^2=1),(3a+4c=0),(8a+25b-6c=0):}$
Dalle ultime due si ricava che $a= -4/3 c$ e $b= 2/3 c$, poi con la prima si conclude facilmente
Abbiamo i due vettori della base: $u_1 = 1/5 [(3),(0),(4)]$, $u_2=1/(5 sqrt29 )[(8),(25),(-6)]$
Notiamo che hanno entrambi norma $1$ e sono tra loro ortogonali.
Quindi ci basta trovare $u_3= [(a),(b),(c)]$ che sia di norma $1$ e ortogonale sia a $u_1$ sia a $u_2$
Dunque deve valere ${(a^2+b^2+c^2=1),(3a+4c=0),(8a+25b-6c=0):}$
Dalle ultime due si ricava che $a= -4/3 c$ e $b= 2/3 c$, poi con la prima si conclude facilmente
Era molto più facile del previsto
grazie mille
grazie mille
qualcuno saprebbe darmi ancora una dritta per il secondo esercizio?
Grazie mille a tutti
Grazie mille a tutti
"Summerwind78":
$U = {(x,y,z,t) \in R^4 | 2x-y+t=z-t = 0}$
$V = {(x,y,z,t) \in R^4 | x+y=y-z=x+t=0}$
viene chiesto di dimostrare che $U+V$ è una somma diretta
Basta dimostrare che $U nn V= {ul0}$
$(x,y,z,t) in U nn V <=> {(2x-y+t=0),(z-t=0),(x+y=0),(y-z=0),(x+t=0):}<=> ...$
Grazie
potrei scrivere un libro intitolato "come perdersi in un bicchier d'acqua"
questa parte dell'esercizio adesso mi torna
Stavo proseguendo con le parti successive dell'esercizio e volevo chiedere ancora una cosa...
mi viene chiesto di trovare la dimensione e una base ortonormale di $U^(\bot)$ (complemento ortogonale di $U$)
io ho pensato di procedere in questo modo
prendo $U = ( ( x ),( 2x+t ),( t ),( t ) ) -> U = x ( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) + t ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) )$
trovando quindi che i vettori
$( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) )$ e $ ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) )$ sono una base di $U$
che vedo già non essere una base ortogonale perchè non si annulla il prodotto scalare, mi domando quindi dati i vincoli su $U$ come ricavare una base ortogonale.
provo comunque ad andare avanti giusto per verificare il procedimento e pongo
$( ( 1 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 1 ) )( ( a ),( b ),( c ),( d ) ) = ( ( 0),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
per ricavare il complemento ortogonale
da cui
${ ( a+2b=0 ),( b+c+d=0 ),( b=beta ),( d=delta ):} -> { ( a=-2 beta ),( b = beta ),( c=-delta - beta ),( d=delta ):} -> beta( ( -2 ),( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) + delta ( ( 0 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) )$
che mi da i due vettori che dovrebbero essere una base del complemento ortogonale di $U$
a me veniva chiesto di trovare una base ortonormale del complemento ortogonale, mi domandavo come ricavare una base del complemento che sia ortogonale partendo da $U$. ovviamente penso che tutto dipenda dal fatto di trovare una base ortogonale di $U$ ma mi trovo in difficoltà perchè di solito parto da almeno un vettore dato e completo la base, ma in questo caso ho due vettori dati che non sono ortogonali tra di loro e ho dei vincoli per il sottospazio $U$
come posso procedere correttamente?
potrei scrivere un libro intitolato "come perdersi in un bicchier d'acqua"
questa parte dell'esercizio adesso mi torna
Stavo proseguendo con le parti successive dell'esercizio e volevo chiedere ancora una cosa...
mi viene chiesto di trovare la dimensione e una base ortonormale di $U^(\bot)$ (complemento ortogonale di $U$)
io ho pensato di procedere in questo modo
prendo $U = ( ( x ),( 2x+t ),( t ),( t ) ) -> U = x ( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) + t ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) )$
trovando quindi che i vettori
$( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) )$ e $ ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) )$ sono una base di $U$
che vedo già non essere una base ortogonale perchè non si annulla il prodotto scalare, mi domando quindi dati i vincoli su $U$ come ricavare una base ortogonale.
provo comunque ad andare avanti giusto per verificare il procedimento e pongo
$( ( 1 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 1 ) )( ( a ),( b ),( c ),( d ) ) = ( ( 0),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
per ricavare il complemento ortogonale
da cui
${ ( a+2b=0 ),( b+c+d=0 ),( b=beta ),( d=delta ):} -> { ( a=-2 beta ),( b = beta ),( c=-delta - beta ),( d=delta ):} -> beta( ( -2 ),( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) + delta ( ( 0 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) )$
che mi da i due vettori che dovrebbero essere una base del complemento ortogonale di $U$
a me veniva chiesto di trovare una base ortonormale del complemento ortogonale, mi domandavo come ricavare una base del complemento che sia ortogonale partendo da $U$. ovviamente penso che tutto dipenda dal fatto di trovare una base ortogonale di $U$ ma mi trovo in difficoltà perchè di solito parto da almeno un vettore dato e completo la base, ma in questo caso ho due vettori dati che non sono ortogonali tra di loro e ho dei vincoli per il sottospazio $U$
come posso procedere correttamente?
Alla fine credo di esserci riuscito
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