Difficoltà Calcolo Polinomio Caratteristico

[Danying]

Salve
spesso ho difficoltà aritmetiche nella riduzione del polinomio caratteristico ad una forma "consona" per studiare gli autovalori.
posto un esempio :

$ P(T) = | ( (-2-T, -1 , 0,0), (2,1-T,0,0),(0,0,-2-T,1),(0,0,1,-2-T)) | $

Uso il teorema di Laplace applicato alla prima riga , in modo da calcolare il determinante 4x4 di quest'ultima .

$(-1)^(1+1) (-2-T) *((1-T,0,0),(0,-2-T, 1),(0,1,-2-T)) = (- T^3 - 3T^2 + T + 3)(-2 - T) = T^4 + 5T^3 + 5T^2 - 5T - 6$

a cui va sommato/sottratto il secondo sottodeterminante, ovvero

$(-1)^3* (-1) * ( (-2-T,0,0),(2,-2-T,1),(0,1,-2-T)) = - T^3-6T^2-11T-6 $

sommati danno $det = T^4+4T^3-T^2-16T-12$


Completamente diverso dal risultato che ho sul compito svolto
ovvero , $T(T+1)^2 (T+3)$

dove sbaglio ? :S

Grazie per gli eventuali chiarimenti

[cooper1]

Non so esattamente dove tu abbia sbagliato, per cui t faccio vedere i miei conti un consiglio che posso darti è quello di NON svolgere subito i conti, perchè potresti avere qualcosa da raccogliere, come in questo caso.
$ (-2-T)| ( -1-T , 0 , 0 ),( 0 , -2-T , 1 ),( 0 , 1 , -2-T ) | +| ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , -2-T , 1 ),( 0 , 1 , -2-T ) | =(-2-T)(1-T)[(-2-T)^2-1]+2[(-2-T)^2-1] =[(-2-T)^2-1][(-2-T)(1-T)+2]=(T^2+4T+3)(T^2+T)=(T+3)(T+1)T(T+1)=T(T+1)^2(T+3) $

[Danying]

Grazie Mille Cooper ;
controllo il tuo calcolo e se ho dubbi posto .

[Danying]

"cooper":
$ (-2-T)| (( -1-T , 0 , 0 ),( 0 , -2-T , 1 ),( 0 , 1 , -2-T ))| =(-2-T)(1-T)[(-2-T)^2-1] = $

Cooper, non mi trovo con il primo calcolo , svolgendo in parte il primo determinante trovo :

$(-2-T) [ (-1-T) (-2-T)^2 +(1+T)] $

ma come arrivo alla tua espressione

$(-2-T)(1-T)[(-2-T)^2-1]$

? :S




PS: al di là di questo, avevo sbagliato la seconda matrice che giustamente hai corretto in

$((2,0,0),( 0,-2-T,1),(0,1,-2-T))$

[cooper1]

prima di tutto ho sbagliato a scrivere il determinante.

"mat100":[quote="cooper"]
$ (-2-T)| ( - $ 1-T , 0 , 0 ),( 0 , -2-T , 1 ),( 0 , 1 , -2-T )| $ =(-2-T)(1-T)[(-2-T)^2-1] = $

[/quote]
il meno che ho evidenziato non esiste.
per quanto riguarda il tuo calcolo non so come tu sia arrivato a quell'espressione. ricapitolando: abbiamo l'espressione seguente:
$ (-2-T)|(1-T , 0 , 0 ),( 0 , -2-T , 1 ),( 0 , 1 , -2-T )| $ sviluppando rispetto alla prima riga otteniamo
$ (-2-T)(1-T)|(-2-T , 1 ),(1 , -2-T )|=(-2-T)(1-T)[(-2-T)(-2-T)-1] $

"mat100":
PS: al di là di questo, avevo sbagliato la seconda matrice che giustamente hai corretto in
$ ((2,0,0),( 0,-2-T,1),(0,1,-2-T)) $

"mat100":Grazie Mille Cooper

figurati

[Danying]

sai perchè mi viene diverso dal tuo ?
Perchè applico la regola "grafica" di Sarrus per il calcolo del determinante 3x3 ! ma stranamente non risulta...
cioè come giustamente hai fatto tu (Laplace) viene un "calcolo più pulito" (oltre che giusto )

Secondo la regola di sarrus

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a22a32 - a13a22a31-a32 a23 a11-a31a21a12

vedendo come sono disposti gli zeri , l'unica diagonale non nulla era appunto ( a32a a23a11)

quindi $(1*1* (-1-T)) $ !
In linea di principio dovrebbero risultare uguali, ma forse è sempre meglio seguire la risoluzione di Laplace, visto che consente una scrittura più agiata dei calcoli .

[cooper1]

non solo in linea di principio devono venire uguali. ed infatti lo sono! il calcolo che hai fatto era correttissimo ma ti sei basato sulla matrice che ho scritto io e che invece era sbagliata. ciò che ottieni senza il meno che ho aggiunto è $ (-2-T)[(1-T)(-2-T)^2-(1-T)] $ che raccogliendo è esattamente ciò che ho trovato io.
la regola di Sarrus la uso solo quando la matrice 3x3 non è semplice, ovvero quando ci sono pochi "zero". quando infatti in una qualche riga/colonna ci sono molti "zeri" è MOLTO conveniente usare Laplace perchè riduci tantissimo la possibilità di fare errori di conto, cosa che invece con Sarrus è molto probabile fare. Premesso questo comunque, una tecnica o l'altra non cambia niente, il risultato dei due metodi deve essere uguale.

[Danying]

perfetto , chiarissimo

scusa la domanda banale ; come hai fatto a passare da
$(T^2+4T+3)(T^2+T)$ ad $(T+3)(T+1)T(T+1) $ ??


io solitamente mi perdo nei calcoli ; parto calcolando le espressioni poi cerco di trovare una radice al polinomio ( con il teorema delle radici razionali ) e poi giù di ruffini ;

sembra che tu invece hai raccolto ad occhio facilmente , trovando la forma idonea


ps: dopo analisi 1 e 2 , mi accorgo che sono molto indietro con le cose che forse sono più banali , i calcoli veri e propri

[cooper1]

per la prima parentesi diciamo, puoi arrivare al risultato in due modi:
1. risolvi l'equazione di secondo grado associata e le soluzioni che trovi sono la scomposizione che ti interessa. in particolare hai che $ ax^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2) $
2. è un trinomio notevole. per cui devi trovare due numeri che moltiplicati tra loro diano +3 e che sommati tra loro diano +4. a questo punto puoi scomporre il polnomio di partenza come $ (x+s)(x+p) $

per la seconda parentesi ho semplicemente raccolto una T (raccoglimento totale).

[Danying]

Chiarissimo