Difficoltà a calcolare il polinomio caratteristico

[floriano94]

Ho questa matrice di cui voglio studiare la diagonalizzabilità in funzione del parametro $a$. Come si può semplicemente verificare, se si procede al calcolo del determinate mediante Laplace si hanno dei conti molto lunghi ed è facile commettere errori di calcolo. Qualcuno vede un modo per semplificare i conti? Trattasi di un esercizio d'esame per cui avrebbe poco senso assegnare una matrice il cui calcolo del determinante risulta molto lungo ed è molto probabile che con un qualche "trucco" è possibile semplificarsi notevolmente la vita.

$ ( ( (a+1) , -1 , a , (-1-a) ),( -a , 1 , (1-a) , a ),( a , 0 , a , -a ),( (a+1) , 1 , (a+2) , (-a-1) ) ) $

[giovirota]

Il calcolo del determinante non è troppo complicato con Laplace riferendosi alla seconda colonna : $|(-1,1,0,1)|$.
I minori 3x3 vanno calcolati con Sarrus.
Vediamo il primo termine:
-(-1)$|(-a,1-a,a,-a,1-a),(a,a,-a,a,a),(a+1,a+2,-a-1,a+1,a+2)|$ =
= $a^2$(a+1)-a($a^2$-1)+$a^2$(a+2)+a(a+1)(1-a)-$a^2$(a+2)-$a^2$(a+1) =
= -2a($a^2$-1)
Come vedi si semplifica immediatamente tutto.
Inoltre il secondo sviluppo risulta nullo, come ovviamente il terzo.
Il quarto = -2a($a^2$-1)
In definitiva il determinante è: -4a( $a^2$ - 1)
Scusami, ma il LaTex ora non mi funziona. traduci tu.