Differenze tra spazi vettoriali , spazi vettoriali euclidei

[angel991]

Salve a tutti .

differenze tra spazio vettoriale, spazio vettoriale euclideo e spazio euclideo

nel mio libro di geometria tratta questi tre spazi in modo differente in tre capitoli differenti ...
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l' idea che mi sono fatto, di spazio vettoriale è quello ad esempio di R^3 degli assi cartesiani x, y,z

la domanda che mi faccio é come devo immaginare questi tre spazi , quali sono le differenze sostanziali tra questi tre spazi ??

[Antimius]

Non devi per forza visualizzarli, perché sono costruzioni matematiche, quindi gli spazi che consideri potrebbero essere astratti. Prendi ad esempio lo spazio vettoriale delle funzioni reali, di variabile reale e continue.
Comunque, uno spazio vettoriale è una struttura algebrica che gode di certe proprietà che non sto ad elencare.
Tutti i concetti della geometria elementare, lunghezza, distanza, angoli, ecc., possono essere reinterpretati e generalizzati partendo dal semplice concetto di "vettore" e da concetti elaborati sui vettori. Così, ad esempio, se si vuole parlare di angoli, si munisce lo s.v. di un prodotto scalare (che poi induce una norma, che a sua volta induce una metrica). Uno s.v. siffatto è detto spazio vettoriale euclideo.
Uno spazio euclideo è lo spazio affine associato a uno spazio vettoriale euclideo. Ecco, lo spazio affine associato allo spazio vettoriale numerico $RR^3$ munito del prodotto scalare standard puoi immaginartelo come lo spazio che ci circonda.