Differenza tra Rango e Base di una matrice
Ciao a tutti! Ho un problema nel capire la differenza tra rango e base di una matrice.
So che il rango è dato da il numero di pivot della matrice ed indica il numero di vettori linearmente indipendenti presenti nella matrice e che compongono lo spazio vettoriale. La base dello spazio vettoriale (da quanto ho capito) si ottiene prendendo i vettori colonna della matrice di partenza dove erano presenti i pivot della matrice "lavorata" con gauss.
Quindi una base di uno spazio vettoriale si ottiene semplicemente così o mi sfugge qualcosa?
Grazie!
So che il rango è dato da il numero di pivot della matrice ed indica il numero di vettori linearmente indipendenti presenti nella matrice e che compongono lo spazio vettoriale. La base dello spazio vettoriale (da quanto ho capito) si ottiene prendendo i vettori colonna della matrice di partenza dove erano presenti i pivot della matrice "lavorata" con gauss.
Quindi una base di uno spazio vettoriale si ottiene semplicemente così o mi sfugge qualcosa?
Grazie!
Risposte
Ti sfugge qualcosa.
Le matrici sono una cosa, e gli spazi vettoriali un'altra. Non esiste la "base di una matrice". Se dai vettori colonna che compongono una matrice vuoi estrarre un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti, estrai i vettori corrispondenti ai pivot che hai trovato una volta fatta la riduzione a scala (il numero di questi vettori, o dei corrispondenti pivot, si chiama rango). Questi non sono una "base della matrice", ma sono una base dell'immagine dell'applicazione lineare rappresentata dalla matrice (solitamente rispetto alle basi canoniche).
Le matrici sono una cosa, e gli spazi vettoriali un'altra. Non esiste la "base di una matrice". Se dai vettori colonna che compongono una matrice vuoi estrarre un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti, estrai i vettori corrispondenti ai pivot che hai trovato una volta fatta la riduzione a scala (il numero di questi vettori, o dei corrispondenti pivot, si chiama rango). Questi non sono una "base della matrice", ma sono una base dell'immagine dell'applicazione lineare rappresentata dalla matrice (solitamente rispetto alle basi canoniche).
Grazie mille della risposta! Si mi ero reso conto subito di non aver "scritto bene" quello che intendevo. Ora sei stato molto chiaro grazie 
Se posso vorrei chiederti un altra cosa sempre a riguardo.
Il teorema della dimensione così come ci è stato spiegato non ha molto senso però =/
Mi spiego:
dimR = dimV + rg(a)
dove la dimV corrisponde alla dimensione della base mente il rango corrisponde al numero di vettori linearmente indipendenti. Ma questi due numeri non dovrebbero coincidere?
Scusa se non sono stato molto chiaro
Se posso vorrei chiederti un altra cosa sempre a riguardo. Il teorema della dimensione così come ci è stato spiegato non ha molto senso però =/
Mi spiego:
dimR = dimV + rg(a)
dove la dimV corrisponde alla dimensione della base mente il rango corrisponde al numero di vettori linearmente indipendenti. Ma questi due numeri non dovrebbero coincidere?
Scusa se non sono stato molto chiaro
"striker4709":
Il teorema della dimensione così come ci è stato spiegato non ha molto senso però =/
Mi spiego:
dimR = dimV + rg(a)
Ciao, il teorema del confronto delle dimensioni è questo:
$dim(V)=dim(ker(f))+dim(Im(f))$
dove $r(A)=dim(Im(f))$, cioè il rango di di una matrice associata a una funzione è uguale alla dimensione dell'immagine di f.
"striker4709":
dove la dimV corrisponde alla dimensione della base mente il rango corrisponde al numero di vettori linearmente indipendenti. Ma questi due numeri non dovrebbero coincidere?
$dim(V)$ è la dimensione del dominio, e per definizione si ha che $dim(V)=\text{ numero di vettori di una base }$
Invece non ho molto capito per cosa sta $dimR$
Quella formula l'ho presa da un esercizio che ci aveva dato.
Questo è il testo:
$V={(x1,x2,x3,x4) ∈ R^4: x1+x2+x3+x4 = 0} ⊆ R^4$
Si dimostri che V è un sottospazio vettoriale di R^4 e se ne determini la dimensione
Come svolgimento della dimensione ha usato la formula
$dim(R^4) = dim(V) + rg(a) -> dim(V) = 4-1 = 3$
Questo è il testo:
$V={(x1,x2,x3,x4) ∈ R^4: x1+x2+x3+x4 = 0} ⊆ R^4$
Si dimostri che V è un sottospazio vettoriale di R^4 e se ne determini la dimensione
Come svolgimento della dimensione ha usato la formula
$dim(R^4) = dim(V) + rg(a) -> dim(V) = 4-1 = 3$
Metti le formule matematiche tra i due simboli del dollaro: $\$\text{formula}\$$. Riscrivo il tuo messaggio:
Ok. In questo caso $A$ è la matrice $1\times 4$ definita come $A=[1\ \1\ \1\ \1]$ che ha rango uno, e $V=Ker(L_A)$.
"striker4709":
Quella formula l'ho presa da un esercizio che ci aveva dato.
Questo è il testo:
\[
V=\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4: x_1+x_2+x_3+x_4 = 0\} \subset \mathbb{R}^4.
\]
Si dimostri che $V$ è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^4$ e se ne determini la dimensione.
Come svolgimento della dimensione ha usato la formula
\[
dim(\mathbb{R}^4) = dim(V) + rg(A) \Rightarrow dim(V) = 4-1 = 3.
\]
Ok. In questo caso $A$ è la matrice $1\times 4$ definita come $A=[1\ \1\ \1\ \1]$ che ha rango uno, e $V=Ker(L_A)$.
Grazie ho corretto il messaggio di prima!
Giusto per una conferma:
Il rango in questo caso è 1 perchè è il minimo tra (1,4) e perchè il rango non può essere meno di 1, giusto?
Giusto per una conferma:
Il rango in questo caso è 1 perchè è il minimo tra (1,4) e perchè il rango non può essere meno di 1, giusto?
Bhè non è proprio corretto dire "il rango è uno perché è il minimo tra $1$ e $4$". Diciamo che in questo caso il rango non può essere più di uno (perché il numero di righe lin. indip. coincide con il numero di colonne lin. indip.) e, non essendo l'applicazione nulla, non può nemmeno essere meno di uno.
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