Differenza tra insieme di generatori e base

[Ali_s]

Salve,
Ho un esercizio che mi chiede di scegliere da una lista quali degli insiemi di vettori indicati sono linearmente indipendenti, quali sono un sistema di generatori e quali costituiscono una base.
(a)$(1,2),(11,sqrt(7)2),(-1,1)$ per $R^2$
(b)$(4/5,5/4),(4,5)$ per $R^2$
(c)$(1,0,0),(1,1,1),(0,1,2),(-1,-2,-3)$ per $R^3$
(d)$(1,-1,-sqrt(5)),(1,1,sqrt(5)),(0,1,2 sqrt(5))$ per $R^3$

Non so se sia giusto, ma io ho calcolato tutte le indip/dip lineari tramite rango della matrice, e mi risulta:
(a)dipendenti
(b)indipendenti
(c)indipendenti
(d)dipendenti
è corretto?
Ma soprattutto, qualcuno è in grado di spiegarmi, senza ricorrere troppo a definizione matematiche, la differenza tra basi di uno spazio e generatori di uno spazio vettoriale?
Grazie

[dan952]

Un insieme di generatori contenente tutti quei vettori che generano tutto lo spazio vettoriale $V$ attraverso loro combinazioni lineari.
Ex
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1)
Questi quattro vettori generano tutto $RR^3$ e formano un insieme di generatori, ma come puoi notare non sono linearmente indipendenti.
Una base invece è sì un insieme di generatori di $V$ ma linearmente indipendenti. È chiaro (va dimostrato) che la base di uno spazio vettoriale di dimensione $n$ conterrà esattamente $n$ generatori linearmente indipendenti

[Ali_s]

Ok, grazie! Ma qual'è il metodo per capire se sono o meno generatori?

[vict85]

"Gilfoyle":Ok, grazie! Ma qual'è il metodo per capire se sono o meno generatori?

È piuttosto semplice in realtà. Un insieme genera l'intero spazio se il più grande suo sottoinsieme linearmente indipendente ha la stessa dimensione dello spazio in questione. Lo puoi calcolare calcolando il rango della matrice associata all'insieme dei vettori. In alcuni casi lo si vede anche senza bisogno di fare calcoli, ma probabilmente questo genere di cose viene con l'esperienza.