Differenza assiomatica tra aperti e chiusi
Uno spazio topologico viene definito come una coppia $(S,\tau)$ dove $S$ è un insieme e $\tau$ è una famiglia di sottoinsiemi.
in particolare esistono 2 definizioni equivalenti:
$\tau$ è una famiglia di insiemi detti aperti tale che:
in particolare esistono 2 definizioni equivalenti:
$\tau$ è una famiglia di insiemi detti aperti tale che:
- -Ogni unione di insiemi aperti è aperto
-L'intersezione di ogni coppia di insiemi aperti è aperto
- Vuoto e S sono aperti
[/list:u:37jhd00x]
formulando i teoremi a partire da questi assiomi i chiusi sono definiti come insiemi il cui complementare è aperto, si può quindi tornare indietro e riformulare gli assiomi per i chiusi
passando ai complementari gli assiomi diventano
$\tau$ è una famiglia di insiemi detti chiusi tale che:
- -Ogni intersezione di insiemi chiusi è chiuso
-L'unione di ogni coppia di insiemi chiusi è chiuso
-S e Vuoto sono insiemi chiusi [/list:u:37jhd00x]
Ora io non riesco a vedere la differenza tra questi 2 set di assiomi iniziali.
In particolare la mia domanda è:
partendo dalla prima definizione si arriva a dire che un insieme è chiuso se contiene tutti i suoi punti limite o equivalentemente la frontiera;
ma essendo i 2 set di assiomi per me identici partendo dalla seconda definizione dovrei arrivare a dire che invece un insieme è aperto se contiene la sua frontiera???
L'unica differenza è prendendo in esame ad esempio l'unione, per gli aperti ogni unione è ancora un aperto, per i chiusi invece l'unione di ogni coppia è ancora chiuso. Ma queste due frasi non vogliono dire la stessa cosa?
Risposte
"Fox":
ma essendo i 2 set di assiomi per me identici partendo dalla seconda definizione dovrei arrivare a dire che invece un insieme è aperto se contiene la sua frontiera???
L'unica differenza è prendendo in esame ad esempio l'unione, per gli aperti ogni unione è ancora un aperto, per i chiusi invece l'unione di ogni coppia è ancora chiuso. Ma queste due frasi non vogliono dire la stessa cosa?
eh no, cambia tutto invece. Sai dov'è la differenza sostanziale? Pensa alla definizione di chiusura (o anche a quella duale di interno, come stai più comodo). La chiusura di $A$ è l'intersezione di tutti i chiusi contenenti $A$. Questa cosa ha senso perché l'intersezione dei chiusi è chiusa, e perciò la chiusura è il più piccolo dei chiusi contenenti $A$.
Dal momento che la chiusura è essa stessa chiusa, arrivi subito a dire che un insieme è chiuso se e solo se coincide con la propria chiusura, con tutte le caratterizzazioni equivalenti a questa (contiene la propria frontiera, contiene i propri punti di accumulazione eccetera). E, dualmente, un insieme è aperto se e solo se coincide col proprio interno.
Ma tutto il discorso si fonda sul fatto che l'intersezione dei chiusi è un chiuso, fatto che abbiamo usato nella definizione di chiusura. Senza questo, sarebbe andato tutto a monte.
Ma vista dall' altra parte,
a priori avrei potuto fare la stessa cosa; dagli assiomi risulta che l'intersezione degli aperti è aperta giusto?
Non riesco a vedere le differenze di partenza degli assiomi...
a priori avrei potuto fare la stessa cosa; dagli assiomi risulta che l'intersezione degli aperti è aperta giusto?
Non riesco a vedere le differenze di partenza degli assiomi...
L'intersezione finita di aperti è aperta. Non l'intersezione qualsiasi. Tutto il contrario (scambia unione e intersezione) per i chiusi. Questa è la differenza sostanziale tra aperti e chiusi. (Ed è il motivo per cui uno definisce la chiusura come intersezione e l'interno come unione, che poi è ciò che tentavo di dire prima).
ok è chiaro. la differenza sta in intersezione/unione finita o qualsiasi.
Ma se l' intersezione di ogni coppia di aperti è aperta, presi 2 aperti qualsiasi $U_i$ e $U_j$ per qualche coppia di indici i e j la loro intersezione è aperta.
Chiamiamo questa intersezione $U_k$ possiamo prendere un altro aperto $U_q \in \tau$ anche $U_k \cap U_q$ appartiene a $\tau$.
Non posso estendere questo processo all'infinito e dire quindi che anche le intersezioni con infiniti elementi stanno in $\tau$?
Ma se l' intersezione di ogni coppia di aperti è aperta, presi 2 aperti qualsiasi $U_i$ e $U_j$ per qualche coppia di indici i e j la loro intersezione è aperta.
Chiamiamo questa intersezione $U_k$ possiamo prendere un altro aperto $U_q \in \tau$ anche $U_k \cap U_q$ appartiene a $\tau$.
Non posso estendere questo processo all'infinito e dire quindi che anche le intersezioni con infiniti elementi stanno in $\tau$?
Tu in sostanza dici: se le intersezioni finite di aperti sono aperti, posso "mandare al limite" questo processo, per dire che le intersezioni infinite (numerabili) sono aperti?
La risposta è no. Esempio ovvio: la famiglia ${(-1/n, 1/n)}_{n=1}^infty$. Singolarmente sono tutti aperti della retta reale, e anche una loro intersezione finita è un aperto come è facilissimo verificare; ma l'intersezione di tutti questi insiemi è ${0}$ che non è un aperto.
Ma del resto, esempi di cose vere "al finito" e non più vere "al limite" ce ne sono parecchi. Prendi la stessa successione ${1/n}$. Per ogni $n$, $1/n>0$. Quindi, "al finito" la successione è strettamente positiva. Ma possiamo forse dire che il limite della successione è $>0$?
La risposta è no. Esempio ovvio: la famiglia ${(-1/n, 1/n)}_{n=1}^infty$. Singolarmente sono tutti aperti della retta reale, e anche una loro intersezione finita è un aperto come è facilissimo verificare; ma l'intersezione di tutti questi insiemi è ${0}$ che non è un aperto.
Ma del resto, esempi di cose vere "al finito" e non più vere "al limite" ce ne sono parecchi. Prendi la stessa successione ${1/n}$. Per ogni $n$, $1/n>0$. Quindi, "al finito" la successione è strettamente positiva. Ma possiamo forse dire che il limite della successione è $>0$?
ok, si intuitivamente mi tornava che l'intersezione infinita di aperti può essere un punto, ma volevo sapere perchè non è possibile mandare al limite quel procedimento...
Ti ringrazio per la disponibilità è il mio primo approccio alla topologia generale e sto studiando da solo sui libri...
Ti ringrazio per la disponibilità è il mio primo approccio alla topologia generale e sto studiando da solo sui libri...
Io ti consiglio di pensare prima agli aperti di numeri reali, che poi sono il prototipo di "insiemi aperti". L'idea intuitiva di "aperto" reale è: un insieme in cui ogni punto dispone di "un po' d'aria" alla propria destra e alla propria sinistra.
Facendo unioni, gli insiemi diventano più grandi. Se quindi un punto aveva un po' d'aria, all'ingrandirsi dell'insieme continuerà ad averla. E questo è il motivo intuitivo per cui l'unione arbitraria di aperti reali è ancora un aperto.
Facendo intersezioni, invece, gli insiemi diventano più piccoli. Se l'intersezione è finita, no pasa nada. Infatti ogni punto dispone di un po' d'aria in ognuno degli insiemi. Hai quindi un numero finito di "bolle" d'aria, una per ogni insieme dell'intersezione, intorno al tuo punto. Ma essendo in numero finito, di queste bolle d'aria puoi scegliere la più piccola.
Questa bolla più piccola starà allora nell'intersezione. E così ogni punto dell'intersezione continua a disporre di una bolla d'aria, e l'intersezione è aperta.
Nessuno però ti garantisce che la proposizione sottolineata sia vera se gli insiemi non sono in numero finito. Nell'esempio di prima, molto semplice, il punto 0 appartiene all'intersezione degli aperti. Nell'$n$-esimo insieme, $0$ dispone della bolla d'aria $(-1/n, 1/n)$. Ma di questa famiglia non finita di bolle d'aria non puoi scegliere la più piccola.
Questo, detto in estrema sintesi e anche estremamente alla buona, è il motivo per cui si richiede che solo le intersezioni finite di aperti siano aperte.
Facendo unioni, gli insiemi diventano più grandi. Se quindi un punto aveva un po' d'aria, all'ingrandirsi dell'insieme continuerà ad averla. E questo è il motivo intuitivo per cui l'unione arbitraria di aperti reali è ancora un aperto.
Facendo intersezioni, invece, gli insiemi diventano più piccoli. Se l'intersezione è finita, no pasa nada. Infatti ogni punto dispone di un po' d'aria in ognuno degli insiemi. Hai quindi un numero finito di "bolle" d'aria, una per ogni insieme dell'intersezione, intorno al tuo punto. Ma essendo in numero finito, di queste bolle d'aria puoi scegliere la più piccola.
Questa bolla più piccola starà allora nell'intersezione. E così ogni punto dell'intersezione continua a disporre di una bolla d'aria, e l'intersezione è aperta.
Nessuno però ti garantisce che la proposizione sottolineata sia vera se gli insiemi non sono in numero finito. Nell'esempio di prima, molto semplice, il punto 0 appartiene all'intersezione degli aperti. Nell'$n$-esimo insieme, $0$ dispone della bolla d'aria $(-1/n, 1/n)$. Ma di questa famiglia non finita di bolle d'aria non puoi scegliere la più piccola.
Questo, detto in estrema sintesi e anche estremamente alla buona, è il motivo per cui si richiede che solo le intersezioni finite di aperti siano aperte.
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