Diffeomorfismo identità
Ciao, amici! Definito un morfismo $F:X\to Y$, dove $X$ e $Y$ sono varietà differenziabili, come un'applicazione tale che, per ogni carta locale \((U,\phi_U)\) in $X$ e \((V,\psi_V)\) in $Y$, la composizione \(\psi_V·F·\phi_U^{-1}:\phi_U (U)\to\mathbb{R}^m\) è differenziabile, un diffeomorfismo $F:X\to Y$ è definito dal mio testo come un morfismo che è un omeomorfismo e tale che $F^{-1}$ è un morfismo.
Un esempio di diffeomorfismo, dice il mio libro, è l'identità $X\to X$.
Ora, come faccio a sapere che per ogni carta locale \((U,\phi_U)\) in $X$ e \((V,\psi_V)\) in $Y$, la composizione \(\psi_V·\phi_U^{-1}:\phi_U (U)\to\mathbb{R}^m\) è differenziabile come applicazione di \(\phi_U (U)\subset\mathbb{R}^m\) su \(\mathbb{R}^m\)? Ovviamente lo è per ogni scelta di \((U,\phi_U)=(V,\psi_V)\), ma in generale...?
Si intende forse che la composizione \(\psi_V·F·\phi_U^{-1}:\phi_U (U)\to\mathbb{R}^m\) sia differenziabile "per ogni carta locale \((U,\phi_U)\) in $X$ e \((V,\psi_V)\) in $Y$ di un $m$-atlante differenziabile fissato"? In questo caso mi sembrerebbe ovvio che l'identità di una varietà differenziabile in sé sia un diffeomorfismo e ho proprio l'impressione che, definite $X$ e $Y$ varietà differenziabili, si considera assegnato un atlante differenziabile...
Grazie di cuore a chi potrà rispondermi!!!!
Un esempio di diffeomorfismo, dice il mio libro, è l'identità $X\to X$.
Ora, come faccio a sapere che per ogni carta locale \((U,\phi_U)\) in $X$ e \((V,\psi_V)\) in $Y$, la composizione \(\psi_V·\phi_U^{-1}:\phi_U (U)\to\mathbb{R}^m\) è differenziabile come applicazione di \(\phi_U (U)\subset\mathbb{R}^m\) su \(\mathbb{R}^m\)? Ovviamente lo è per ogni scelta di \((U,\phi_U)=(V,\psi_V)\), ma in generale...?
Si intende forse che la composizione \(\psi_V·F·\phi_U^{-1}:\phi_U (U)\to\mathbb{R}^m\) sia differenziabile "per ogni carta locale \((U,\phi_U)\) in $X$ e \((V,\psi_V)\) in $Y$ di un $m$-atlante differenziabile fissato"? In questo caso mi sembrerebbe ovvio che l'identità di una varietà differenziabile in sé sia un diffeomorfismo e ho proprio l'impressione che, definite $X$ e $Y$ varietà differenziabili, si considera assegnato un atlante differenziabile...
Grazie di cuore a chi potrà rispondermi!!!!
Risposte
Se è quello chiedevi: sì, tutto funziona bene se su $X$ consideri in partenza e in arrivo la stessa struttura differenziabile.
\(\infty\) grazie, yellow!!! Sì, chiedevo se, visto che il Sernesi, Geometria II, p. 179, dice che "l'identità di una varietà in se stessa è un esempio di diffeomorfismo", il testo intenda che l'atlante che definisce su di essa una struttura di varietà differenziale è assegnato.
Credo che, se non si aggiunge nulla, quando si parla di varietà differenziabile, ci si riferisca alla struttura definita da un particolare atlante differenziabile assegnato e che per questo il libro non specifichi ulteriormente che \(\phi_u\) e $\psi_V$ debbano essere carte dello stesso atlante...
Grazie ancora!!!
Credo che, se non si aggiunge nulla, quando si parla di varietà differenziabile, ci si riferisca alla struttura definita da un particolare atlante differenziabile assegnato e che per questo il libro non specifichi ulteriormente che \(\phi_u\) e $\psi_V$ debbano essere carte dello stesso atlante...
Grazie ancora!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo