Diffeomorfismo

[cicciapallina]

Ciao a tutti!
Qualcuno mi saprebbe dire un diffeomorfismo esplicito tra iperboloide iperbolico di equazioni $ (x / a)^2+(y / b)^2- (z / c)^2=1 $ e il cilindro di equazioni $ x^2+y^2=1 $ ?
Grazie

[_prime_number]

Le tue considerazioni in proposito?

Paola

[cicciapallina]

Ho pensato di mandare x in ax, b in ay. Il problema è z? Rimane fisso? Cioè il diffeomorfismo è f(x,y,z)=(ax,by,z)?

[Alexp1]

Si, per iniziare puoi mandare $(x,y,z)$ in $(ax', by', z')$, ma non hai ancora trovato il diffeomorfismo che cerchi, perchè applicando questo cambio di coordinate ottieni $x'^2+y'^2-(z'^2)/(c^2)=1$ che non è l'equazione del cilindro, manca ancora un pezzo!

[cicciapallina]

z dovrebbe andare in 0? Ma poi non riesco a trovare l'inversa

[Alexp1]

No, non devi mandarla in $0$...$z=z'$

$x'^2+y'^2=1+(z'^2)/(c^2)$ vista così ti è più chiara??

[cicciapallina]

E per arrivare sul cilindro?
Ora ho $ x^2+y^2=1+z^2/c^2 $
Devo completare il quadrato?

[Alexp1]

Se scrivi $c^2/(z'^2+c^2)(x'^2+y'^2)=1$ ??

[cicciapallina]

Devo cambiare la x e la y? Però mi da fastidio il denominatore...

[Alexp1]

No, se scrivi l'inversa di $(c/sqrt(c^2+z'^2)x', c/sqrt(c^2+z'^2)y', z')$
ottieni $f:I->C$ (con $I$ intendo l'iperboloide e con $C$ il cilindro).

[cicciapallina]

Cioè $ (x,y,z)=( $ $ (x,y,z)=(sqrt(c^2+z^2)x)/c,(sqrt(c^2+z^2)y)/c,z) $
e a e b che fine fanno?

[cicciapallina]

Quindi
$ f:C -> I$
(x,y,z)=(c/sqrt(c^2+z^2))x/a,(c/sqrt(c^2+z^2))y/b,z)
Con inversa
(x,y,z)=(ax sqrt(c^2+z^2)/c,by sqrt(c^2+z^2)/c,z) $

[Alexp1]

"cicciapallina":Quindi
$ f:C -> I$
$(x,y,z)=((c/sqrt(c^2+z^2))x/a,(c/sqrt(c^2+z^2))y/b, z)$
Con inversa
$(x,y,z)=(ax sqrt(c^2+z^2)/c,by sqrt(c^2+z^2)/c,z)$

Si, il tutto dovrebbe quadrare!

P.S: Sistema le formule nella risposta precedente.....

[Alexp1]

Pensandoci bene, mi è venuto in mente che l'argomento era stato già toccato tempo fa e curiosando sono riuscito a recuperare la discussione...te la linko sotto! ciao

diffeomorfismi-t50979.html