Diametro di una conica
Ciao! Mi sono imbattuta in questo esercizio:
"Fissato un sistema di riferimento cartesiano nel piano, trovare il diametro della conica
$2x^2+9y^2-6xy-12x+14y-7=0$
che forma un angolo di $\pi/4$ con la sua direzione coniugata"
Io so che per trovare il diametro devo fare $P^tAu+u^ta=0$
dove $A$ è la matrice dei termini quadratici della conica data da:
$A=((2,-3),(-3,9))$
$P$ è un generico punto di entrate $((x,y))$ e $a$ è il vettore colonna dei termini di primo grado della conica dato da:
$a=((-6,7))^t$
A questo punto potrei calcolarmi la direzione principale $u$ (data dagli autovettori relativi ad autovalori non nulli) e trovare il diametro della conica..non capisco però come imporre che formi un angolo di $\pi/4$ con la sua direzione coniugata...
"Fissato un sistema di riferimento cartesiano nel piano, trovare il diametro della conica
$2x^2+9y^2-6xy-12x+14y-7=0$
che forma un angolo di $\pi/4$ con la sua direzione coniugata"
Io so che per trovare il diametro devo fare $P^tAu+u^ta=0$
dove $A$ è la matrice dei termini quadratici della conica data da:
$A=((2,-3),(-3,9))$
$P$ è un generico punto di entrate $((x,y))$ e $a$ è il vettore colonna dei termini di primo grado della conica dato da:
$a=((-6,7))^t$
A questo punto potrei calcolarmi la direzione principale $u$ (data dagli autovettori relativi ad autovalori non nulli) e trovare il diametro della conica..non capisco però come imporre che formi un angolo di $\pi/4$ con la sua direzione coniugata...
Risposte
Non riesco ad interpretare bene il tuo simbolismo e quindi userò...il mio 
Siano dunque \(\displaystyle P_o , X \) due punti del piano proiettivo: il primo \(\displaystyle P_o \) supposto dato, il secondo X supposto generico. Sia A la matrice associata alla conica data :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-3&-6\\-3&9&7\\-6&7&-7\end{pmatrix} \)
E siano inoltre \(\displaystyle ^t(1,l,0),^t(1,m,0) \) due direzioni ( o punti impropri ) del piano proiettivo. La polare di \(\displaystyle P_o \) rispetto alla conica ha equazione :
\(\displaystyle ^tP_oAX=0 \)
che applicata al caso della direzione \(\displaystyle ^t(1,l,0) \) diventa :
\(\displaystyle (1,l,0)AX=0 \)
Indicando con \(\displaystyle ^t(x,y,t) \) le coordinate proiettive del generico punto \(\displaystyle X \) e facendo i relativi calcoli si ha :
(1) \(\displaystyle (2-3l)x+(-3+9l)y+(-6+7l)t=0 \)
Affinché la direzione \(\displaystyle (1,m,0) \) sia coniugata di \(\displaystyle (1,l,0) \), la terna \(\displaystyle (1,m,0) \) deve verificare la (1):
\(\displaystyle (2-3l)\cdot 1+(-3+9l)\cdot m+(-6+7l)\cdot 0=0 \) da cui l'equazione :
(2) \(\displaystyle 9lm-3l-3m+2=0 \)
D'altra parte l'angolo tra due direzioni, per una nota formula, è dato da :
\(\displaystyle \tan\phi=|\frac{l-m}{1+lm}| \) che nel nostro caso diventa :
(3) \(\displaystyle |\frac{l-m}{1+lm}|=1\)
Mettendo insieme (2) e (3) si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}9lm-3l-3m+2=0\\ l-m=\mp(1+lm)\end{cases} \)
Le soluzioni sono :
\(\displaystyle l= -\frac{1}{3},m=\frac{1}{2}; l=\frac{1}{4},m=\frac{5}{3}; l= \frac{1}{2},m=-\frac{1}{3};l=\frac{5}{3},m=\frac{1}{4} \)
A causa della simmetria delle soluzioni, possiamo tener conto solo delle prime due e sostituendole nella ( 1) abbiamo le equazioni delle due coppie di diametri coniugati che risolvono il problema :
\(\displaystyle 9x-18y-25t=0,x+3y-5t=0 \)
\(\displaystyle 5x-3y-17t=0; 9x-36y-17t=0 \)
Il centro della conica è il punto \(\displaystyle C(33,4,9) \) ed è facile verificare che esso appartiene a ciascuno dei diametri di cui prima. Come deve essere.
Siano dunque \(\displaystyle P_o , X \) due punti del piano proiettivo: il primo \(\displaystyle P_o \) supposto dato, il secondo X supposto generico. Sia A la matrice associata alla conica data :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-3&-6\\-3&9&7\\-6&7&-7\end{pmatrix} \)
E siano inoltre \(\displaystyle ^t(1,l,0),^t(1,m,0) \) due direzioni ( o punti impropri ) del piano proiettivo. La polare di \(\displaystyle P_o \) rispetto alla conica ha equazione :
\(\displaystyle ^tP_oAX=0 \)
che applicata al caso della direzione \(\displaystyle ^t(1,l,0) \) diventa :
\(\displaystyle (1,l,0)AX=0 \)
Indicando con \(\displaystyle ^t(x,y,t) \) le coordinate proiettive del generico punto \(\displaystyle X \) e facendo i relativi calcoli si ha :
(1) \(\displaystyle (2-3l)x+(-3+9l)y+(-6+7l)t=0 \)
Affinché la direzione \(\displaystyle (1,m,0) \) sia coniugata di \(\displaystyle (1,l,0) \), la terna \(\displaystyle (1,m,0) \) deve verificare la (1):
\(\displaystyle (2-3l)\cdot 1+(-3+9l)\cdot m+(-6+7l)\cdot 0=0 \) da cui l'equazione :
(2) \(\displaystyle 9lm-3l-3m+2=0 \)
D'altra parte l'angolo tra due direzioni, per una nota formula, è dato da :
\(\displaystyle \tan\phi=|\frac{l-m}{1+lm}| \) che nel nostro caso diventa :
(3) \(\displaystyle |\frac{l-m}{1+lm}|=1\)
Mettendo insieme (2) e (3) si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}9lm-3l-3m+2=0\\ l-m=\mp(1+lm)\end{cases} \)
Le soluzioni sono :
\(\displaystyle l= -\frac{1}{3},m=\frac{1}{2}; l=\frac{1}{4},m=\frac{5}{3}; l= \frac{1}{2},m=-\frac{1}{3};l=\frac{5}{3},m=\frac{1}{4} \)
A causa della simmetria delle soluzioni, possiamo tener conto solo delle prime due e sostituendole nella ( 1) abbiamo le equazioni delle due coppie di diametri coniugati che risolvono il problema :
\(\displaystyle 9x-18y-25t=0,x+3y-5t=0 \)
\(\displaystyle 5x-3y-17t=0; 9x-36y-17t=0 \)
Il centro della conica è il punto \(\displaystyle C(33,4,9) \) ed è facile verificare che esso appartiene a ciascuno dei diametri di cui prima. Come deve essere.
Emm.. io sono nel piano quindi credo che l'unica direzione che ho sia $(l,m)$.
A me la formula del diametro viene così:
$(2l-3m)x+(-3l+9m)y+6l+7m=0$
Pensavo di dover usare una formula con $cos\theta$ piuttosto che $tan\theta$...
Non so, è che dovrei risolvere l'esercizio nel piano euclideo, non in proiettiva..per cui non posso prendere le direzioni come punti impropri
A me la formula del diametro viene così:
$(2l-3m)x+(-3l+9m)y+6l+7m=0$
Pensavo di dover usare una formula con $cos\theta$ piuttosto che $tan\theta$...
Non so, è che dovrei risolvere l'esercizio nel piano euclideo, non in proiettiva..per cui non posso prendere le direzioni come punti impropri
Trovo difficile risolvere un tal problema senza parlare di punti impropri. Basta pensare al fatto che due diametri sono coniugati quando il polo dell'uno appartiene all'altro. Ma il polo di un qualsiasi diametro è un punto improprio ! Infatti, per definizione, un diametro di una conica è una retta per il centro della conica. E poiché detto centro è il polo della retta impropria del piano della conica, ne segue che tale polo deve stare sulla retta impropria. L'unica spiegazione che riesco ad immaginare è che forse tu usi formule predefinite, cosa questa che ritengo essere il modo migliore per ...non imparare niente !
Il punto in realtà è che allo scritto è richiesto di risolvere gli esercizi solo in geometria affine ed euclidea, mentre all'orale è richiesta anche la geometria proiettiva, per cui per quanto sia più ragionevole risolvere l'esercizio usando la proiettiva e dunque i punti impropri, non è quel che mi viene richiesto.
Io devo essere in grado di risolvere l'esercizio utilizzando tutte e sole le conoscenze datemi dalla geometria euclidea e affine.
Per questo invece di utilizzare i punti impropri devo utilizzare una direzione data da un punto del piano (come elemento euclideo).
La cosa fondamentale che non ho capito dell'esercizio non è tanto cosa sia il diametro o come si trovi, quanto come determinare se questo forma un angolo di un certo tanto con la sua direzione coniugata.
Io in genere con questo tipo di esercizi determino prima che tipo di conica ho, mi trovo la direzione principale e il diametro coniugato data tale direzione.
In questo caso prendo la direzione principale generica $(l,m)$ e trovo il diametro in funzione di questa.
A questo punto ottengo una formula di diametro in cui devo imporre l'angolo con la direzione coniugata.
Il mio dubbio ora è: come trovo la direzione coniugata? Questo non mi è chiaro.
Fatto questo prenderei il vettore direzionale del diametro (usando le proprietà euclidee della retta vista come sottospazio affine) e la sua direzione coniugata e imporrei che l'angolo fosse $\pi/4$.
Io devo essere in grado di risolvere l'esercizio utilizzando tutte e sole le conoscenze datemi dalla geometria euclidea e affine.
Per questo invece di utilizzare i punti impropri devo utilizzare una direzione data da un punto del piano (come elemento euclideo).
La cosa fondamentale che non ho capito dell'esercizio non è tanto cosa sia il diametro o come si trovi, quanto come determinare se questo forma un angolo di un certo tanto con la sua direzione coniugata.
Io in genere con questo tipo di esercizi determino prima che tipo di conica ho, mi trovo la direzione principale e il diametro coniugato data tale direzione.
In questo caso prendo la direzione principale generica $(l,m)$ e trovo il diametro in funzione di questa.
A questo punto ottengo una formula di diametro in cui devo imporre l'angolo con la direzione coniugata.
Il mio dubbio ora è: come trovo la direzione coniugata? Questo non mi è chiaro.
Fatto questo prenderei il vettore direzionale del diametro (usando le proprietà euclidee della retta vista come sottospazio affine) e la sua direzione coniugata e imporrei che l'angolo fosse $\pi/4$.
Il punto critico del problema è proprio quello che hai detto: come imporre il coniugio tra due diametri ? Se i due diametri fossero gli assi ( ovvero se le direzioni in gioco fossero quelle "prìncipali", come le chiami tu), basterebbe imporre che esse siano perpendicolari : \(\displaystyle ll'+mm'=0 \). In mancanza non so proprio come stabilire stò benedetto coniugio. Se ci riesci, posta la soluzione così imparo anch'io...
Quanto all'uso di \(\displaystyle \tan\theta \) al posto di \(\displaystyle \cos\theta \), non è solo una questione di gusti ma anche di formule. Certamente saprai che il coseno dell'angolo tra due direzioni assegnate è dato dalla formula:
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{|ll'+mm'|}{\sqrt{l^2+m^2}\cdot\sqrt{l'^2+m'^2}} \)
certamente assai più complicata di quella della tangente.
Quanto all'uso di \(\displaystyle \tan\theta \) al posto di \(\displaystyle \cos\theta \), non è solo una questione di gusti ma anche di formule. Certamente saprai che il coseno dell'angolo tra due direzioni assegnate è dato dalla formula:
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{|ll'+mm'|}{\sqrt{l^2+m^2}\cdot\sqrt{l'^2+m'^2}} \)
certamente assai più complicata di quella della tangente.
Risolto l'esercizio! Era parecchio banale. Lo posto, così puoi vederlo ciromario.
considero una direzione $u=(l,m)$ generica
so che il diametro di una conica ha equazione $P^TAu+a^Tu=0$
So quindi che la direzione normale al del mio diametro è $Au$.
Per cui che faccio? Per trovare il diametro con angolo $\pi/4$ con la direzione coniugata uso la formula:
$()/(||u||*||Au||) = cos(\pi/4) = sqrt(2)/2$
ora, io so (facendo il conto) che $Au=(2l-3m, 3l-9m)^T$
per cui, posso imporre $u=(1,m)$
in questo modo starò considerando tutte le direzioni meno $(0, 1)$ per la quale basta fare il calcolo diretto e si vede subito che di sicuro $u$ non potrà essere tale direzione.
Svolgendo il conto, si troverà un'equazione in $m$ e si risolve l'equazione.
considero una direzione $u=(l,m)$ generica
so che il diametro di una conica ha equazione $P^TAu+a^Tu=0$
So quindi che la direzione normale al del mio diametro è $Au$.
Per cui che faccio? Per trovare il diametro con angolo $\pi/4$ con la direzione coniugata uso la formula:
$(
ora, io so (facendo il conto) che $Au=(2l-3m, 3l-9m)^T$
per cui, posso imporre $u=(1,m)$
in questo modo starò considerando tutte le direzioni meno $(0, 1)$ per la quale basta fare il calcolo diretto e si vede subito che di sicuro $u$ non potrà essere tale direzione.
Svolgendo il conto, si troverà un'equazione in $m$ e si risolve l'equazione.
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