Diagonalizzazione simultanea matrici simmetriche

[bestiedda2]

Buonasera a tutti

Consideriamo 3 matrici quadrate simmetriche aventi lo stesso ordine, diciamo \(\displaystyle A,B,C \). Siano \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle C \) definite positive, e sia \(\displaystyle B \) semidefinita positiva (o anche definita positiva). Esiste una matrice \(\displaystyle M \), invertibile, tale che le tre matrici \(\displaystyle M^T A M , M^T B M, M^T C M \) siano tutte diagonali?

Dell'esistenza sono pressocchè sicuro, ma non ho idea di come trovare la matrice \(\displaystyle M \)...potete darmi una mano? Magari anche solo un consiglio sulla strada da seguire

Grazie a tutti

[dissonance]

Non è detto che una tale matrice $M$ esista. Se esistesse, allora $A, B, C$ dovrebbero commutare, come puoi verificare facilmente osservando che matrici diagonali commutano sempre. Probabilmente questa condizione è anche sufficiente, ma non ne sono troppo sicuro.

[bestiedda2]

hai ragione, avevo fatto confusione io. Ci sono proprietà particolari legate al fatto che due matrici simmetriche e definite positive commutino?