Diagonalizzazione simultanea

[Sergeant Pepper]

Salve a tutti, avrei bisogno di aiuto per questo esercizio:

Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate reali, entrambe diagonalizzabili.
(1) Supponiamo che $A$ e $B$ siano $2\times2$. Mostrare che $A$ e $B$ sono simultaneamente diagonalizzabili se e solo se o hanno gli stessi autospazi oppure una delle due matrici è un multiplo dell'identità.
(2) Mostrare con un esempio che la stessa affermazione non è vera per matrici $3\times3$

Ora, il primo punto è quello che dovrei essere riuscito a svolgere:
(a) Svolgendo i calcoli con matrici generiche, dimostro che se una delle due è multiplo dell'identità, allora commutano e quindi sono simultaneamente diagonalizzabili.
(b) Se hanno gli stessi autospazi (e sapendo che sono singolarmente diagonalizzabili) allora posso trovare la matrice $P$ del cambio di base che rende una delle due matrici diagonali. Ma questa matrice ha per colonne gli autovettori che identificano gli autospazi. Da questa osservazione e dal fatto che $A$ e $B$ hanno gli stessi autospazi per ipotesi, ricavo che la matrice $P$ diagonalizza entrambe.
(c) Se $A$ e $B$ sono simultaneamente diagonalizzabili allora hanno gli stessi autospazi.

Il problema sorge al secondo punto: con la stessa dimostrazione potrei provare che lo stesso vale anche per le matrici $3\times3$ e quindi non dovrebbe essere possibile esporre un controesempio. I casi sono quindi due: o ho sbagliato la dimostrazione precedente oppure è giusta ma sto usando in qualche modo "nascosto" una qualche proprietà tipica delle matrici $2\times2$ che non mi permette di estendere la dimostrazione al caso $3\times3$. Sapete aiutarmi?

Ho anche osservato che se una delle due matrici è multiplo dell'identità, allora questa commutano anche nel caso $3\times3$ (e quindi sono simultaneamente diagonalizzabili) perciò il punto problematico dovrebbe essere nell'implicazione "stessi autospazi" $=>$ "simultaneamente diagonalizzabili" ma non riesco comunque a trovarlo..

Grazie dell'attenzione

[Studente Anonimo]

Mentre il seguente teorema vale $AA n in NN$:

Ipotesi

1. $A in M_(nxxn)(RR) ^^ B in M_(nxxn)(RR)$

2. $A ^^ B$ diagonalizzabili

3. $A ^^ B$ hanno gli stessi autospazi

Tesi

$A ^^ B$ simultaneamente diagonalizzabili

il teorema inverso non vale $AA n in NN$:

Ipotesi

1. $A in M_(nxxn)(RR) ^^ B in M_(nxxn)(RR)$

2. $A ^^ B$ simultaneamente diagonalizzabili

Tesi

$A ^^ B$ hanno gli stessi autospazi

Per esempio, nel caso di $M_(3xx3)(RR)$, è sufficiente considerare le due matrici sottostanti:

$A in M_(3xx3)(RR)$

$A[(\alpha),(0),(0)]=\lambda_1[(\alpha),(0),(0)]$

$A[(0),(\alpha),(0)]=\lambda_2[(0),(\alpha),(0)]$

$A[(0),(0),(\alpha)]=\lambda_3[(0),(0),(\alpha)]$

$\lambda_1 ne \lambda_2 ^^ \lambda_1 ne \lambda_3 ^^ \lambda_2 ne \lambda_3$

$B in M_(3xx3)(RR)$

$B[(\alpha),(0),(0)]=\mu_1[(\alpha),(0),(0)]$

$B[(0),(\alpha),(\beta)]=\mu_2[(0),(\alpha),(\beta)]$

$\mu_1 ne \mu_2$

Nonostante le due matrici siano simultaneamente diagonalizzabili, è sufficiente considerare gli autovettori di $A$, senz'altro autovettori anche di $B$, le due matrici non hanno gli stessi autospazi. Infine, il motivo per cui, nel caso di $M_(2xx2)(RR)$, non sia possibile escogitare un controesempio del genere, alla luce di quanto esposto dovrebbe essere abbastanza evidente.

[Sergeant Pepper]

Innanzitutto grazie per l'aiuto

Riguardo i teoremi:
Sul primo sono d'accordo, nulla da dire.
Riguardo il secondo, effettivamente non lo trovo in maniera esplicita nei miei appunti. Credo mi abbia tratto in inganno la dicitura "trovare una base comune di autovettori" nell'algoritmo di diagonalizzazione simultanea: la avevo intesa come "i vettori che trovi identificano gli stessi autospazi sia per $A$ che per $B$"..

Riguardo l'esempio, devo ammettere che non mi è molto chiaro: se ho ben capito $A$ e $B$ le prendi simultaneamente diagonalizzabili per ipotesi, giusto?
Quello che mi viene da notare è che hai costruito $B$ con due soli autovettori (e questo dovrebbe servire a negare la tesi del secondo teorema, dato che $A$ ne ha tre) e hai costruito $mu_2$ come combinazione lineare di $lambda_2$ e $lambda_3$.
Quello che non capisco è perchè una costruzione del genere non possa essere ripetuta nel caso delle matrici $2\times2$. Se considero le matrici:

$A[(\alpha),(0)]=\lambda_1[(\alpha),(0)]$
$A[(0),(\alpha)]=\lambda_2[(0),(\alpha)]$
$B[(\alpha),(0)]=\mu_1[(\alpha),(\beta)]$

non mi trovo nella stessa situazione?

Grazie ancora per l'aiuto

[Studente Anonimo]

Ti rispondo in modo esauriente in serata.

[Sergeant Pepper]

Senza fretta, ci mancherebbe! Mi hai gia dato una bella mano così

[Studente Anonimo]

"Sergeant Pepper":
... le prendi simultaneamente diagonalizzabili per ipotesi ...

Certamente. Ad ogni modo, prova a leggere le considerazioni sottostanti.

Matrice $A$

La matrice $A in M_(3xx3)(RR)$ ammette tre autovalori distinti:

$\lambda_1 ne \lambda_2 ^^ \lambda_1 ne \lambda_3 ^^ \lambda_2 ne \lambda_3$

e tre autospazi:

1. Asse x

$AA \alpha in RR : [(\alpha),(0),(0)]$ Autovalore: $\lambda_1$

Rappresentante: $[\alpha=1] rarr vec(u_1)=[(1),(0),(0)]$

2. Asse y

$AA \alpha in RR : [(0),(\alpha),(0)]$ Autovalore: $\lambda_2$

Rappresentante: $[\alpha=2] rarr vec(u_2)=[(0),(2),(0)]$

3. Asse z

$AA \alpha in RR : [(0),(0),(\alpha)]$ Autovalore: $\lambda_3$

Rappresentante: $[\alpha=3/2] rarr vec(u_3)=[(0),(0),(3/2)]$

La matrice $A$ è diagonale rispetto alla base ${vec(u_1),vec(u_2),vec(u_3)}$:

$A=[(\lambda_1,0,0),(0,\lambda_2,0),(0,0,\lambda_3)]$

Matrice $B$

La matrice $B in M_(3xx3)(RR)$ ammette due autovalori distinti:

$\mu_1 ne \mu_2$

e due autospazi:

1. Asse x

$AA \alpha in RR : [(\alpha),(0),(0)]$ Autovalore: $\mu_1$

Rappresentante: $[\alpha=1] rarr vec(u_1)=[(1),(0),(0)]$

2. Piano yz

$AA \alpha in RR ^^ AA \beta in RR : [(0),(\alpha),(\beta)]$ Autovalore: $\mu_2$

Rappresentante: $[\alpha=2] ^^ [\beta=0] rarr vec(u_2)=[(0),(2),(0)]$

Rappresentante: $[\alpha=0] ^^ [\beta=3/2] rarr vec(u_3)=[(0),(0),(3/2)]$

La matrice $B$ è diagonale rispetto alla base ${vec(u_1),vec(u_2),vec(u_3)}$:

$B=[(\mu_1,0,0),(0,\mu_2,0),(0,0,\mu_2)]$

Riepilogando:

La matrice $A$ è diagonale rispetto alla base ${vec(u_1),vec(u_2),vec(u_3)}$

$A=[(\lambda_1,0,0),(0,\lambda_2,0),(0,0,\lambda_3)]$

La matrice $B$ è diagonale rispetto alla base ${vec(u_1),vec(u_2),vec(u_3)}$

$B=[(\mu_1,0,0),(0,\mu_2,0),(0,0,\mu_2)]$

In definitiva, poichè esiste una base rispetto alla quale le due matrici sono diagonali, le due matrici sono simultaneamente diagonalizzabili. Tuttavia, non c'è ombra di dubbio che le due matrici abbiano autospazi diversi: tre autospazi di dimensione 1 per la matrice $A$, due autospazi, il primo di dimensione 1, il secondo di dimensione 2, per la matrice $B$.

Osservazione 1

Il motivo per cui ciò è possibile risiede nel fatto che la matrice $B$ ha un autospazio di dimensione 2. Giova sottolineare che, se si prendesse la seguente base:

${vec(u_1),vec(u_4),vec(u_5)}$

con $vec(u_4)$ e $vec(u_5)$ appartenenti al piano yz, mentre la matrice $B$ sarebbe ancora diagonale ($vec(u_4)$ e $vec(u_5)$ sono autovettori della matrice $B$), la matrice $A$ non sarebbe più diagonale ($vec(u_4)$ e $vec(u_5)$ non sono autovettori della matrice $A$).

Osservazione 2

Lo scenario cambia radicalmente nel caso in cui le matrici appartengano a $M_(2xx2)(RR)$: se una matrice ha un autospazio di dimensione 2, essa è necessariamente multipla della matrice identità.

[Sergeant Pepper]

Grazie davvero per la spiegazione, esauriente e precisa! Mi hai tolto ogni dubbio in merito

[Studente Anonimo]

Ottimo.