Diagonalizzazione per similitudine di una matrice
Buongiorno a tutti!
L'esericizio richiesto è questo (l'ho svolto ma non avendo le soluzioni vorrei che qualcuno cortesemente verificasse la correttezza dello svolgimento):
"Data la matrice:
A= $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 2 , 1 ) ) $ che appartiene a M4(R)
si dica se esiste una matrice diagonale in M4(R) simile ad A."
La richiesta dell'esercizio è quindi: La matrice A è diagonalizzabile per similitudine? giusto???
Mio svolgimento:
Attraverso le trasformazioni elementari di riga trasformo la matrice in una matrice triangolare:
A'= $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
che poi diventerà:
A'= $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
Trattandosi A' di una matrice diagonale,gli autovalori sono dati dagli elementi della diagonale principale, quindi 1,2,0 con molteplicità algebrica 1,2,1. Ne segue che le molteplicità geometriche degli autovalori 1 e 0 sono entrambe uguali a 1.
Per quanto riguarda la molteplicità geometrica dell'autovalore 2:
Sappiamo che la molt.geomtrica = n - rango (autovalore-matidentica A) dove n è l'ordine della matrice
$ ( ( a-1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , a-2 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , a-2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
sostituendo l'autovalore a=2
$ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
il rango di questa matrice è 2
Quindi:
mg(2) = n - rango della matrice sopra= 4 -2
Allora mg(1)+mg(0)+mg(2)= 1+1+2=4 --> la matrice è diagonalizzabile per similitudine.
Qualche obiezione? errori?
L'esericizio richiesto è questo (l'ho svolto ma non avendo le soluzioni vorrei che qualcuno cortesemente verificasse la correttezza dello svolgimento):
"Data la matrice:
A= $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 2 , 1 ) ) $ che appartiene a M4(R)
si dica se esiste una matrice diagonale in M4(R) simile ad A."
La richiesta dell'esercizio è quindi: La matrice A è diagonalizzabile per similitudine? giusto???
Mio svolgimento:
Attraverso le trasformazioni elementari di riga trasformo la matrice in una matrice triangolare:
A'= $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
che poi diventerà:
A'= $ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
Trattandosi A' di una matrice diagonale,gli autovalori sono dati dagli elementi della diagonale principale, quindi 1,2,0 con molteplicità algebrica 1,2,1. Ne segue che le molteplicità geometriche degli autovalori 1 e 0 sono entrambe uguali a 1.
Per quanto riguarda la molteplicità geometrica dell'autovalore 2:
Sappiamo che la molt.geomtrica = n - rango (autovalore-matidentica A) dove n è l'ordine della matrice
$ ( ( a-1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , a-2 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , a-2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
sostituendo l'autovalore a=2
$ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
il rango di questa matrice è 2
Quindi:
mg(2) = n - rango della matrice sopra= 4 -2
Allora mg(1)+mg(0)+mg(2)= 1+1+2=4 --> la matrice è diagonalizzabile per similitudine.
Qualche obiezione? errori?
Risposte
Di errori non ne vedo, farei una piccolissima precisazione che non cambia niente: $A'=((1,0,0,0),(0,2,0,1),(0,0,2,0),(0,0,0,0))$ non è diagonale: lo sarebbe se $a'_(ij)=0\ AAi,j:i!=j$.
Grazie per la precisazione (mio errore di battitura) e per aver verificato la correttezza dell'esericizio!
scusami ma mi sembra assurdo che tu possa diagonalizzare una matrice usando l'algoritmo di Gauss. Quest'ultimo trasforma profondamente i vettori della base della matrice.
Cavolo, ho preso una tranvata allucinante, Fingolfin ha perfettamente ragione, chiedo scusa. Non puoi diagonalizzare usando Gauss, cambi la matrice che diagonalizzi...
Avete ragione! Grazie ancora.
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