Diagonalizzazione ortogonale
Salve a tutti, stavo studiando la diagonalizzazione di una matrice molto semplice
$ A=( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $
Ho calcolato gli autovalori attraverso la formula $λI-A$ ottendendo i due autovalori $2$ con MoltA=1 e $-1$ con MoltA=2
Per trovare gli autovettori ho poi studiato i sistemi
$ { ( 2x-y-z=0 ),( -x+2y-z=0 ),( -x-y+2z=0 ):} $
$ { ( -x-y-z=0 ),( -x-y-z=0 ),( -x-y-z=0 ):} $
rispettivamente relativi agli autovalori $2$ e $-1$
Le soluzioni sono dunque del tipo $ E(2)={( ( t ),( t ),( t ) )} $ $ E(-1){( ( t ),( -t ),( 0 ) )}, {( ( t ),( 0 ),( -t ) )} $
e quindi ponendo $t=1$ ottengo $ P=( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , -1 ) ) $ come possibile matrice diagonalizzante
Per prima cosa volevo chiedere se fino a qui il procedimento è giusto!
Poi volevo sapere come si procedeva all'ortogonalizzazione (che in questo caso è possibile essendo A simmetrica)
Ricordavo che bisognava dividere per la norma però nel caso di $E(-1)$ il secondo vettore deve essere ortogonalizzato secondo Gram-Shmidt? Potete farmi vedere passo passo come si effettuano i calcoli? La formula la conosco però sbaglio sempre quando c'è da utilizzarla sul campo!
$ A=( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $
Ho calcolato gli autovalori attraverso la formula $λI-A$ ottendendo i due autovalori $2$ con MoltA=1 e $-1$ con MoltA=2
Per trovare gli autovettori ho poi studiato i sistemi
$ { ( 2x-y-z=0 ),( -x+2y-z=0 ),( -x-y+2z=0 ):} $
$ { ( -x-y-z=0 ),( -x-y-z=0 ),( -x-y-z=0 ):} $
rispettivamente relativi agli autovalori $2$ e $-1$
Le soluzioni sono dunque del tipo $ E(2)={( ( t ),( t ),( t ) )} $ $ E(-1){( ( t ),( -t ),( 0 ) )}, {( ( t ),( 0 ),( -t ) )} $
e quindi ponendo $t=1$ ottengo $ P=( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , -1 ) ) $ come possibile matrice diagonalizzante
Per prima cosa volevo chiedere se fino a qui il procedimento è giusto!
Poi volevo sapere come si procedeva all'ortogonalizzazione (che in questo caso è possibile essendo A simmetrica)
Ricordavo che bisognava dividere per la norma però nel caso di $E(-1)$ il secondo vettore deve essere ortogonalizzato secondo Gram-Shmidt? Potete farmi vedere passo passo come si effettuano i calcoli? La formula la conosco però sbaglio sempre quando c'è da utilizzarla sul campo!
Risposte
Allora, forse sono riuscito da solo, ho solo un dubbio
$e_1= ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) $
$e_2= (v * e_1)/(e_1 * e_1) * e_1$
da cui
$e_2= ( ( 1 ),( 0 ), ( -1) ) - (( ( 1 ),( 0 ), ( -1) ) * ( ( 1 ), ( -1 ), ( 0 ) ))/(( ( 1 ), ( -1 ), ( 0 ) ) * ( ( 1 ), ( -1 ), ( 0 ) )) * ( ( 1 ), ( -1 ), ( 0 ) )=( (1/2),( 1/2), ( -1 ) )$
Ora dovrei dividere $e_1$ e $e_2$ per la norma che nel caso di $e_1$ è $1/sqrt(2)$ ma nel caso di $e_2$ devo dividere per la norma del nuovo vettore trovato o di quello iniziale ovvero $( ( 1 ),( 0 ), ( -1) )$?
$e_1= ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) $
$e_2= (v * e_1)/(e_1 * e_1) * e_1$
da cui
$e_2= ( ( 1 ),( 0 ), ( -1) ) - (( ( 1 ),( 0 ), ( -1) ) * ( ( 1 ), ( -1 ), ( 0 ) ))/(( ( 1 ), ( -1 ), ( 0 ) ) * ( ( 1 ), ( -1 ), ( 0 ) )) * ( ( 1 ), ( -1 ), ( 0 ) )=( (1/2),( 1/2), ( -1 ) )$
Ora dovrei dividere $e_1$ e $e_2$ per la norma che nel caso di $e_1$ è $1/sqrt(2)$ ma nel caso di $e_2$ devo dividere per la norma del nuovo vettore trovato o di quello iniziale ovvero $( ( 1 ),( 0 ), ( -1) )$?
Hai sbagliato la formula, devi calcolare i valori di $k$ per cui il determinante si annulla in questa matrice: $|A-\lambdaI|$
Ho trovato un solo autovalore $k=1$ con $m_a =1$ e, quindi, la dimensione del relativo autospazio: $dim_{V_1}=1$, quindi..
Riprova e dimmi se hai anche tu lo stesso risultato
Ho trovato un solo autovalore $k=1$ con $m_a =1$ e, quindi, la dimensione del relativo autospazio: $dim_{V_1}=1$, quindi..
Riprova e dimmi se hai anche tu lo stesso risultato
No, sono abbastanza sicuro che la formula sia giusta.
Utilizzare $λI-A$ oppure $A-λI$ è la stessa cosa e rende gli stessi autovalori
In particolare, nel calcolo del determinante ho ottenuto $ (λ)^3-3λ-2 $ che risolta con Ruffini diventa $(λ-2)((λ)^2+2λ+1)$ (che ha appunto come radici 2 e -1)
comunque io volevo solo sapere se come matrice ortogonale andasse bene questa
$ ( ( 1/sqrt(3) , 1/sqrt(2) , (1/2)/sqrt(3/2) ),( 1/sqrt(3) , -1/sqrt(2) , (1/2)/sqrt(3/2) ),( 1/sqrt(3) , 0 , -1/sqrt(3/2) ) ) $
Utilizzare $λI-A$ oppure $A-λI$ è la stessa cosa e rende gli stessi autovalori
In particolare, nel calcolo del determinante ho ottenuto $ (λ)^3-3λ-2 $ che risolta con Ruffini diventa $(λ-2)((λ)^2+2λ+1)$ (che ha appunto come radici 2 e -1)
comunque io volevo solo sapere se come matrice ortogonale andasse bene questa
$ ( ( 1/sqrt(3) , 1/sqrt(2) , (1/2)/sqrt(3/2) ),( 1/sqrt(3) , -1/sqrt(2) , (1/2)/sqrt(3/2) ),( 1/sqrt(3) , 0 , -1/sqrt(3/2) ) ) $
$[det((1-lambda,1,0),(1,-lambda,1),(0,1,1-lambda))=0] rarr$
$rarr [-lambda(1-lambda)^2-2(1-lambda)=0] rarr$
$rarr [(1-lambda)(lambda^2-lambda-2)=0] rarr$
$rarr [(1-lambda)(lambda+1)(lambda-2)=0] rarr$
$rarr [lambda=-1] vv [lambda=1] vv [lambda=2]$
Insomma, hai sbagliato il calcolo degli autovalori. Tra l'altro, sarebbe sempre meglio procedere utilizzando le fattorizzazioni. A questo punto, con tuo sommo dispiacere, essendo gli autospazi di dimensione unitaria automaticamente ortogonali, il problema si semplifica.
$rarr [-lambda(1-lambda)^2-2(1-lambda)=0] rarr$
$rarr [(1-lambda)(lambda^2-lambda-2)=0] rarr$
$rarr [(1-lambda)(lambda+1)(lambda-2)=0] rarr$
$rarr [lambda=-1] vv [lambda=1] vv [lambda=2]$
Insomma, hai sbagliato il calcolo degli autovalori. Tra l'altro, sarebbe sempre meglio procedere utilizzando le fattorizzazioni. A questo punto, con tuo sommo dispiacere, essendo gli autospazi di dimensione unitaria automaticamente ortogonali, il problema si semplifica.
Hai ragione! Nel fare l'esercizio 'su carta' in pratica ho preso in cnsiderazione questa matrice $ ( ( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ) ) $ ecco perchè! 
Comunque sia, al di là di tutto, nel caso non fossero gli autospazi di dimensione unitaria, il ragionamento per diagonalizzare ortogonalmente sarebbe giusto?
Comunque sia, al di là di tutto, nel caso non fossero gli autospazi di dimensione unitaria, il ragionamento per diagonalizzare ortogonalmente sarebbe giusto?
Intanto, avresti dovuto scrivere:
$E(-1)=((t_1),(t_2),(-t_1-t_2))$
Così facendo, la scelta più naturale sarebbe risultata:
$\{(t_1=1),(t_2=0):} rarr ((1),(0),(-1)) vv \{(t_1=0),(t_2=1):} rarr ((0),(1),(-1))$
La tua base, ovviamente, "funziona" quanto la mia. Tuttavia, la notazione con un solo parametro che hai utilizzato è sostanzialmente scorretta. In ogni modo, proseguendo con la tua base:
$f_2=e_2-()/()e_1=((1/2),(1/2),(-1))$
Anche in questo caso, hai fatto confusione con le notazioni. Ok, se ora normalizzi anche $[e_1]$ e $[f_2]$ hai concluso.
$E(-1)=((t_1),(t_2),(-t_1-t_2))$
Così facendo, la scelta più naturale sarebbe risultata:
$\{(t_1=1),(t_2=0):} rarr ((1),(0),(-1)) vv \{(t_1=0),(t_2=1):} rarr ((0),(1),(-1))$
La tua base, ovviamente, "funziona" quanto la mia. Tuttavia, la notazione con un solo parametro che hai utilizzato è sostanzialmente scorretta. In ogni modo, proseguendo con la tua base:
$f_2=e_2-(
Anche in questo caso, hai fatto confusione con le notazioni. Ok, se ora normalizzi anche $[e_1]$ e $[f_2]$ hai concluso.
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