Diagonalizzazione matrici
Ciao a tutti! All'università stiamo facendo la diagonalizzazione ma la professoressa ha spiegato solo la teoria. Ora ho da fare questo esercizio:
"Si consideri la matrice simmetrica $ A= ( ( 2 , -2 , -1 ),( -2 , 5 , 2 ),( -1 , 2 , 2 ) ) $ :
1) determinare una matrice $ P $ (non necessariamente ortogonale) tale che $ P^-1AP=D $ , dove $ D $ è la matrice diagonale.
2) determinare una matrice ortogonale $ Q $ tale che $ Q^-1AQ=D $ ."
Bene, io ho già trovato gli autovalori della matrice e le molteplicità: $ lambda_ 1=1 $, $ m(lambda_1)=2 $, $ lambda_2=7 $, $m(lambda_2)=1$.
Gli autospazi sono: $ V(lambda_1)=$((2,1,0),(1,0,1)) e $ V(lambda_2)= ((-1,2,1)) $ .
Per favore, potete spiegarmi in modo chiaro e completo il procedimento per risolvere esercizi del genere in modo da essere a posto per sempre? Vi ringrazio già in anticipo
"Si consideri la matrice simmetrica $ A= ( ( 2 , -2 , -1 ),( -2 , 5 , 2 ),( -1 , 2 , 2 ) ) $ :
1) determinare una matrice $ P $ (non necessariamente ortogonale) tale che $ P^-1AP=D $ , dove $ D $ è la matrice diagonale.
2) determinare una matrice ortogonale $ Q $ tale che $ Q^-1AQ=D $ ."
Bene, io ho già trovato gli autovalori della matrice e le molteplicità: $ lambda_ 1=1 $, $ m(lambda_1)=2 $, $ lambda_2=7 $, $m(lambda_2)=1$.
Gli autospazi sono: $ V(lambda_1)=$((2,1,0),(1,0,1)) e $ V(lambda_2)= ((-1,2,1)) $ .
Per favore, potete spiegarmi in modo chiaro e completo il procedimento per risolvere esercizi del genere in modo da essere a posto per sempre? Vi ringrazio già in anticipo
Risposte
Esercizio 1) La matrice $Q$ è la matrice che ha gli autovettori come colonne e dovresti ritrovare sulla diagonale della matrice $D$ gli autovalori di $A$.
2) Osserva che se la matrice è ortogonale, allora per definizione $Q^(-1)=^tQ$ che è data dalla matrice di passaggio tra due basi ortonormali. Pertanto supponendo che $A$ sia associata alla base canonica, ti resta da ortonormalizzare la base di autovettori che hai trovato!
2) Osserva che se la matrice è ortogonale, allora per definizione $Q^(-1)=^tQ$ che è data dalla matrice di passaggio tra due basi ortonormali. Pertanto supponendo che $A$ sia associata alla base canonica, ti resta da ortonormalizzare la base di autovettori che hai trovato!
Scusa, ma non penso di aver capito bene.
Allora, la matrice diagonale è $ D=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $ . La matrice diagonalizzante è dunque $ P=( ( 1 , 0 , 1 ),( 2 , 1 , 0 ),( -1 , 2 , 1 ) ) $ .
Ok, fin qui ci sono. Come faccio ora ad ortonormalizzare la base ottenuta?
Allora, la matrice diagonale è $ D=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $ . La matrice diagonalizzante è dunque $ P=( ( 1 , 0 , 1 ),( 2 , 1 , 0 ),( -1 , 2 , 1 ) ) $ .
Ok, fin qui ci sono. Come faccio ora ad ortonormalizzare la base ottenuta?
No, scusa, la domanda idiota! Ho capito come fare! Grazie mille per l'aiuto! Non è difficile.Grazie
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