Diagonalizzazione matrice particolare
Sia $A = (a_{i,j}) ∈ M_n(RR)$ e si assuma che esistano $b_1, . . . , b_n > 0$ tali che $b_ia_{i,j} = b_ja_{j,i}$ per ogni $i, j$. Dimostrare che $A$ è diagonalizzabile.
Avevo pensato a ricondurmi alla matrice con coefficienti $b_ia_{i,j}$ che è simmetrica e quindi diagonalizzabile. Poi non so se da questo posso dimostrare che $A$ è diagonalizzabile.
Avevo pensato a ricondurmi alla matrice con coefficienti $b_ia_{i,j}$ che è simmetrica e quindi diagonalizzabile. Poi non so se da questo posso dimostrare che $A$ è diagonalizzabile.
Risposte
Siano $\bb P$ simmetrica e $\bb D$ diagonale a valori in $\RR$.
L'equazione caratteristica della matrice $\bb P$ e'
$det(\lambda \bb I - \bb D \bb A) = det( \bb D^(1/2) ( \lambda \bb I - \bb D^(1/2) \bb A \bb D^(-1/2))\bb D^(-1/2) ) = 0$
Gli autovalori di $\bb P = \bb D \bb A$ sono gli stessi di $ \bb Q = \bb D^(1/2) \bb A \bb D^(-1/2) $ che e' simmetrica ed ha autovalori reali.
https://math.stackexchange.com/question ... ric-matrix
L'equazione caratteristica della matrice $\bb P$ e'
$det(\lambda \bb I - \bb D \bb A) = det( \bb D^(1/2) ( \lambda \bb I - \bb D^(1/2) \bb A \bb D^(-1/2))\bb D^(-1/2) ) = 0$
Gli autovalori di $\bb P = \bb D \bb A$ sono gli stessi di $ \bb Q = \bb D^(1/2) \bb A \bb D^(-1/2) $ che e' simmetrica ed ha autovalori reali.
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"Quinzio":
Siano $\bb P$ simmetrica e $\bb D$ diagonale a valori in $\RR$.
L'equazione caratteristica della matrice $\bb P$ e'
$det(\lambda \bb I - \bb D \bb A) = det( \bb D^(1/2) ( \lambda \bb I - \bb D^(1/2) \bb A \bb D^(-1/2))\bb D^(-1/2) ) = 0$
Gli autovalori di $\bb P = \bb D \bb A$ sono gli stessi di $ \bb Q = \bb D^(1/2) \bb A \bb D^(-1/2) $ che e' simmetrica ed ha autovalori reali.
Cos'è l equazione caratteristica? Nel senso cosa rappresenta
"andreadel1988":
Cos'è l equazione caratteristica?
L'equazione che deve soddisfare il polinomio caratteristico.
Presa una matrice $A$ di polinomio caratteristico $p_A(t)$, l'equazione caratteristica è quella che ti permette di trovare le radici del polinomio: $p_A(t)=0$ [che obiettivamente è una equazione, nonostante impropriamente quando si dice "polinomio caratteristico", spesso uno intende proprio l'intera equazione $p_A(t)=0$]
"Lebesgue":
L'equazione che deve soddisfare il polinomio caratteristico.
Presa una matrice $A$ di polinomio caratteristico $p_A(t)$, l'equazione caratteristica è quella che ti permette di trovare le radici del polinomio: $p_A(t)=0$ [che obiettivamente è una equazione, nonostante impropriamente quando si dice "polinomio caratteristico", spesso uno intende proprio l'intera equazione $p_A(t)=0$]
A ok io lo chiamo solo polinomio caratteristico ahahah comunque di solito lo vedo scritto come $det(A-λI)$
"andreadel1988":
A ok io lo chiamo solo polinomio caratteristico ahahah comunque di solito lo vedo scritto come $det(A-λI)$
Eh proprio come dicevo, impropriamente uno lo chiama comunque polinomio caratteristico, anche se è una equazione
In ogni caso, $\det(A-\lambda I)$ e $\det(\lambda I-A)$ sono polinomi che hanno le stesse radici, cambia solo la presenza di un $(-1)^n$ davanti tutto il polinomio, che però non altera ovviamente le radici:
$\det(\lambda I-A)=\det(-(A-\lambda I))=(-1)^n\det(A-\lambda I)$
"Quinzio":
Siano $\bb P$ simmetrica e $\bb D$ diagonale a valori in $\RR$.
Gli autovalori di $\bb P = \bb D \bb A$ sono gli stessi di $ \bb Q = \bb D^(1/2) \bb A \bb D^(-1/2) $ che e' simmetrica ed ha autovalori reali.
https://math.stackexchange.com/question ... ric-matrix
Comunque non ho capito molto cosa c'entra con il mio problema, intanto come fai a dire che $ P$ si scrive come prodotto di $ A$ per una matrice diagonale $ D $ e poi il fatto che $ Q$ sia diagonalizzabile non capisco come è collegato al fatto che anche $ A$ è diagonalizzabile (non mi sembrano simili dato che $ D $ ha esponente $ 1/2$, forse siccome è diagonale faccio le radici dei termini diagonali e quindi mi viene $1$ l'esponente? ). Se mi potresti dire un po meglio.
"Lebesgue":
Eh proprio come dicevo, impropriamente uno lo chiama comunque polinomio caratteristico, anche se è una equazione
In ogni caso, $\det(A-\lambda I)$ e $\det(\lambda I-A)$ sono polinomi che hanno le stesse radici, cambia solo la presenza di un $(-1)^n$ davanti tutto il polinomio, che però non altera ovviamente le radici:
$\det(\lambda I-A)=\det(-(A-\lambda I))=(-1)^n\det(A-\lambda I)$
Si si ci avevo fatto caso e solo che in un primo momento pensavo fosse altro
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