Diagonalizzazione matrice hermitiana (correz)
ciao a tutti, sono un po' a corto di algebra e chiedo a a chi è più allenato di me.
L'esercizio che vorrei risolvere mi chiede, autovettori e autovalori della matrice, e infine diagonalizzare la matrice e scrivere in maniera esplicita la trasformazione unotaria che effettua la diagonalizzazione
Per il primo punto non ci sono problemi... o meglio non dovrebbero essercene
per essere più precisi la matrice hermitiana è
$A = ((1,1,0),(1,1,-i),(0,i,1))$
con $i$ unità immaginaria.
Se non ho sbagliato i conti dall'equazione caratteristica rimane
$(1-lambda)^3=0 => lambda_1=lambda_2=lambda_3=1$
dunque l'autovettore che poi trovo è dato dal sistema
$((0,1,0),(1,0,-i),(0,i,0))*((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ da cui ottengo $\{(y = 0),(x=iz),(iy=0):}$
L'autovettore generico è dato da $|v>= (i*eta,0,eta)$
ad esempio
$|v_1> = (i,0,1)$
Adesso dovrei trovare una trasformazione unitaria che rende diagonale la mia matrice.
in un precedente corso di algebra ricordo che per diagonalizzare formavo una matrice $P$ che aveva come colonne gli autovettori trovati; ne calcolavo l'inversa $P^-1$ e infine ricavavo $A'=P^(-1)AP$
[size=75]
Ora io so che se è Hermitiana cioè $A^+= A$
(dove $A^+$ è l'aggiunta di A, cioè la trasposta della matrice complessa coniugata di A)
e se $A$ ha $n$ autovalori NON degeneri
$ambda_1 , lambda_2 ,..., lambda_n$ con $lambda_i in RR$
e autovettori
$|u_1>, |u_2>,...,|u_n>$ ortogonali $= \delta_(ij)$
allora la diagonalizzazione è data dalla matrice $U = (|u_1>, |u_2>,...,|u_n>)
$A'=U^+ A U$
dove $A'$ è la matrice diagonale
Ma se gli autovalori sono degeneri come mi posso comportare.[/size]
Grazie a tutti.
Se troverò la risposta ai miei dubbi li posterò.
Luca
L'esercizio che vorrei risolvere mi chiede, autovettori e autovalori della matrice, e infine diagonalizzare la matrice e scrivere in maniera esplicita la trasformazione unotaria che effettua la diagonalizzazione
Per il primo punto non ci sono problemi... o meglio non dovrebbero essercene
per essere più precisi la matrice hermitiana è
$A = ((1,1,0),(1,1,-i),(0,i,1))$
con $i$ unità immaginaria.
Se non ho sbagliato i conti dall'equazione caratteristica rimane
$(1-lambda)^3=0 => lambda_1=lambda_2=lambda_3=1$
dunque l'autovettore che poi trovo è dato dal sistema
$((0,1,0),(1,0,-i),(0,i,0))*((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ da cui ottengo $\{(y = 0),(x=iz),(iy=0):}$
L'autovettore generico è dato da $|v>= (i*eta,0,eta)$
ad esempio
$|v_1> = (i,0,1)$
Adesso dovrei trovare una trasformazione unitaria che rende diagonale la mia matrice.
in un precedente corso di algebra ricordo che per diagonalizzare formavo una matrice $P$ che aveva come colonne gli autovettori trovati; ne calcolavo l'inversa $P^-1$ e infine ricavavo $A'=P^(-1)AP$
[size=75]
Ora io so che se è Hermitiana cioè $A^+= A$
(dove $A^+$ è l'aggiunta di A, cioè la trasposta della matrice complessa coniugata di A)
e se $A$ ha $n$ autovalori NON degeneri
$ambda_1 , lambda_2 ,..., lambda_n$ con $lambda_i in RR$
e autovettori
$|u_1>, |u_2>,...,|u_n>$ ortogonali $
allora la diagonalizzazione è data dalla matrice $U = (|u_1>, |u_2>,...,|u_n>)
$A'=U^+ A U$
dove $A'$ è la matrice diagonale
Ma se gli autovalori sono degeneri come mi posso comportare.[/size]
Grazie a tutti.
Se troverò la risposta ai miei dubbi li posterò.
Luca
Risposte
Non penso che c'entri qualcosa la molteplicità algebrica degli autovalori. Col procedimento che hai scritto trovi (credo) una trasformazione unitaria diagonalizzante per tutte le matrici Hermitiane. Adesso purtroppo ho poco tempo, più tardi ne possiamo parlare più nel dettaglio.
Grazie per la risposta! ho anche sistemato il mio primo messaggio che effettivamente era un po' incoerente.
M'è sorto anche un altro dubbio. $|v> = (iη,0,η)$
$eta$ la devo considerare complessa? perchè in quel caso avrei anche qualcosa di questo tipo:
es. per
$eta=i$
$|v_2> = (-1,0,i)$
o addirittura potrebbe essere della forma $eta=a+ib$ ??
grazie
M'è sorto anche un altro dubbio. $|v> = (iη,0,η)$
$eta$ la devo considerare complessa? perchè in quel caso avrei anche qualcosa di questo tipo:
es. per
$eta=i$
$|v_2> = (-1,0,i)$
o addirittura potrebbe essere della forma $eta=a+ib$ ??
grazie
"ebol":
Grazie per la risposta! ho anche sistemato il mio primo messaggio che effettivamente era un po' incoerente.
M'è sorto anche un altro dubbio. $|v> = (iη,0,η)$
$eta$ la devo considerare complessa? perchè in quel caso avrei anche qualcosa di questo tipo:
es. per
$eta=i$
$|v_2> = (-1,0,i)$
o addirittura potrebbe essere della forma $eta=a+ib$ ??
grazie
Il parametro $\eta$ lo puoi scegliere come vuoi, due vettori corrispondenti a scelti differenti sono in ogni caso linearmente dipendenti (ricordando che in questo caso i coefficienti della combinazione lineare possono essere complessi) e quindi appartengono ancora al sottospazio relativo all'autovalore in considerazione.
ok, quindi possiamo dire che la scelta di $eta$ è arbitraria, o non fa differenza.
Stavo riflettendo anche sul fatto che di solito ottenevo 3 autovettori, linearmente indipendenti e ortogonali tra loro.
Ora, siccome ne ottengo uno (o meglio tanti linearmente dipendenti tra loro al variare di $eta$), mi pare ovvio che non posso trovare una matrice per diagonalizzare con il solito metodo...
sicuramente c'è il modo per diagonalizzare... continuo a cercare...
Grazie per il contributo
Stavo riflettendo anche sul fatto che di solito ottenevo 3 autovettori, linearmente indipendenti e ortogonali tra loro.
Ora, siccome ne ottengo uno (o meglio tanti linearmente dipendenti tra loro al variare di $eta$), mi pare ovvio che non posso trovare una matrice per diagonalizzare con il solito metodo...
sicuramente c'è il modo per diagonalizzare... continuo a cercare...
Grazie per il contributo
Temo sia sbagliato il calcolo del polinomio caratteristico, facendolo fare a Mathematica vengono come autovalori $1,1+\sqrt2,1-\sqrt2$.
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