Diagonalizzazione matrice con parametro
Salve ragazzi!! Non capisco come determinare la diagonalizzazione di una matrice al variare di un parametro,ad esempio:
$((2,0,-1),(0,1,1),(0,k,k))$
inizio ponendo -t sulla diagonale ed ottengo:
$((2-t,0,-1),(0,1-t,1),(0,k,k-t))$
calcolando il determinante ottengo che il polinomio caratteristico risulta:
$2-t*[t*(t-1-k)]$ dove $t=0$ $t=2$ $t=1+k$
Da qui in poi mi serve conoscere come ragionare che ho le idee poco chiare su questo tipo di esercizi.
Grazie in anticipo!
$((2,0,-1),(0,1,1),(0,k,k))$
inizio ponendo -t sulla diagonale ed ottengo:
$((2-t,0,-1),(0,1-t,1),(0,k,k-t))$
calcolando il determinante ottengo che il polinomio caratteristico risulta:
$2-t*[t*(t-1-k)]$ dove $t=0$ $t=2$ $t=1+k$
Da qui in poi mi serve conoscere come ragionare che ho le idee poco chiare su questo tipo di esercizi.
Grazie in anticipo!
Risposte
[mod="cirasa"]Ciao Piggy, ti chiedo di modificare il titolo del tuo messaggio, evitando di scrivere tutto in maiuscolo (vedi regolamento, punto 3.5). Grazie.[/mod]
Scusa se sono pignolo, ma se i conti sono giusti(non li ho controllati), ma dovresti scrivere $(2-t)t(t-1-k)=0$. Questo è il polinomio caratteristico.
Comunque per risolvere questo tipo di esercizi devi chiederti una cosa molto semplice, e cioè quando, al variare di $k$, cambia la molteplicità algebrica di un autovalore.
Ti faccio un esempio concreto: si vede chiaramente che se $k=-1$, l'autovalore $0$ è doppio e non più semplice. Pertanto bisognerà controllare se molteplicità algebrica (che ora è 2) e geometrica coincidono. In tal caso concluderai che per $k=-1$ la matrice è/non è diagonalizzabile.
ti rimane da verificare quando $(2-t)=(t-1-k)$ e il caso più generale quando, quale che sia $k$, i tre autovalori son tutti semplici...
Se hai ancora domande chiedi pure.
Comunque per risolvere questo tipo di esercizi devi chiederti una cosa molto semplice, e cioè quando, al variare di $k$, cambia la molteplicità algebrica di un autovalore.
Ti faccio un esempio concreto: si vede chiaramente che se $k=-1$, l'autovalore $0$ è doppio e non più semplice. Pertanto bisognerà controllare se molteplicità algebrica (che ora è 2) e geometrica coincidono. In tal caso concluderai che per $k=-1$ la matrice è/non è diagonalizzabile.
ti rimane da verificare quando $(2-t)=(t-1-k)$ e il caso più generale quando, quale che sia $k$, i tre autovalori son tutti semplici...
Se hai ancora domande chiedi pure.
Quindi io quello che devo fare è sostituire gli autovalori di t cioè ( $t=0$ $t=2$ ) nell'espressione $t=1+k$ . Pero' non capisco come ti risulta la molteplicita' algebrica doppia non capisco il ragionamento ,se potresti illustrarmi i procedimenti sarebbe meglio.
$k$ è un qualsiasi numero, quindi potrebbe accadere che al variare di questo il polinomio caratteristico acquisisca una radice doppia.
Esempio pratico: il polinomio è $t(2-t)(t-1-k)=0$
Quindi se $k=4$ esso diventa $t(2-t)(t-5)=0$, quindi abbiamo tre autovalori semplici quindi la matrice (o l'endomorfismo associato) è diagonalizzabile.
E così per infiniti valori di $k$.
Però (e qui entra in gioco il ragionamento che devi fare), potrebbe accadere che per qualche valore di $k$ i fattori irriducibili del polinomio diventino uguali, variando così la molteplicità della radice (e quindi la molteplicità algebrica di detto autovalore)?
Devi ragionare così: Può accadere che $(t-1-k)=(2-t)$?, o ancora che $t=(t-1-k)$? Dove queste uguaglianze dovrebbe essere lette così: Può il fattore $(t-1-k)$ ammettere le stesse radici di $t$? Attenzione, devi dare un valore a $k$ non a $t$.
Con questo ragionamento ottieni facilmente che $(t-1-k)=(2-t)$ se $k=1$ infatti ottieni che $(2-t)$ e $(t-2)$ hanno entrambi radice $2$. Mentre nel secondo caso per $k=-1$ ottieni che il polinomio caratteristico assume la forma $t^2(2-t)=0$ ovvero $t=0$ è autovalore doppio.
Non ti resta ora che esaminare le molteplicità geometriche rispettive e concludere se è diagonalizzabile o meno.
Esempio pratico: il polinomio è $t(2-t)(t-1-k)=0$
Quindi se $k=4$ esso diventa $t(2-t)(t-5)=0$, quindi abbiamo tre autovalori semplici quindi la matrice (o l'endomorfismo associato) è diagonalizzabile.
E così per infiniti valori di $k$.
Però (e qui entra in gioco il ragionamento che devi fare), potrebbe accadere che per qualche valore di $k$ i fattori irriducibili del polinomio diventino uguali, variando così la molteplicità della radice (e quindi la molteplicità algebrica di detto autovalore)?
Devi ragionare così: Può accadere che $(t-1-k)=(2-t)$?, o ancora che $t=(t-1-k)$? Dove queste uguaglianze dovrebbe essere lette così: Può il fattore $(t-1-k)$ ammettere le stesse radici di $t$? Attenzione, devi dare un valore a $k$ non a $t$.
Con questo ragionamento ottieni facilmente che $(t-1-k)=(2-t)$ se $k=1$ infatti ottieni che $(2-t)$ e $(t-2)$ hanno entrambi radice $2$. Mentre nel secondo caso per $k=-1$ ottieni che il polinomio caratteristico assume la forma $t^2(2-t)=0$ ovvero $t=0$ è autovalore doppio.
Non ti resta ora che esaminare le molteplicità geometriche rispettive e concludere se è diagonalizzabile o meno.
Allora devo procedere cosi'(correggimi):
una matrice nxn è diagonalizzabile se :
a) le radici del polinomio caratteristico sono n e tutte differenti
b) la molteplicita algebrica e geometrica di un autovalore sono uguali. GIUSTO?
dalla: $t*(2-t)(t-1-k)$ sappiamo che per $K=1$ e $K=-1$ la matrice non è diagonalizzabile poiché devono esistere ,come detto prima radici del polinomio differenti.
Pero dobbiamo anche considerare il caso in cui $K=1$ e $K=-1$ ,dove la molteplicita algebrica di $T=0$ e $T=2$ diventa 2. Fatto questo sostituisco i valori $T=0$e$K=-1$ nella matrice e confronto le molteplicita',stessa cosa faccio per $T=2$ e $K=1$
GIUSTO??
una matrice nxn è diagonalizzabile se :
a) le radici del polinomio caratteristico sono n e tutte differenti
b) la molteplicita algebrica e geometrica di un autovalore sono uguali. GIUSTO?
dalla: $t*(2-t)(t-1-k)$ sappiamo che per $K=1$ e $K=-1$ la matrice non è diagonalizzabile poiché devono esistere ,come detto prima radici del polinomio differenti.
Pero dobbiamo anche considerare il caso in cui $K=1$ e $K=-1$ ,dove la molteplicita algebrica di $T=0$ e $T=2$ diventa 2. Fatto questo sostituisco i valori $T=0$e$K=-1$ nella matrice e confronto le molteplicita',stessa cosa faccio per $T=2$ e $K=1$
GIUSTO??
Allora devo procedere cosi'(correggimi):
una matrice nxn è diagonalizzabile se :
a) le radici del polinomio caratteristico sono n e tutte differenti
b) la molteplicita algebrica e geometrica di un autovalore sono uguali. GIUSTO?
dalla: $t*(2-t)(t-1-k)$ sappiamo che per $K=1$ e $K=-1$ la matrice non è diagonalizzabile poiché devono esistere ,come detto prima radici del polinomio differenti.
Pero dobbiamo anche considerare il caso in cui $K=1$ e $K=-1$ ,dove la molteplicita algebrica di $T=0$ e $T=2$ diventa 2. Fatto questo sostituisco i valori $T=0$e$K=-1$ nella matrice e confronto le molteplicita',stessa cosa faccio per $T=2$ e $K=1$
GIUSTO??
una matrice nxn è diagonalizzabile se :
a) le radici del polinomio caratteristico sono n e tutte differenti
b) la molteplicita algebrica e geometrica di un autovalore sono uguali. GIUSTO?
dalla: $t*(2-t)(t-1-k)$ sappiamo che per $K=1$ e $K=-1$ la matrice non è diagonalizzabile poiché devono esistere ,come detto prima radici del polinomio differenti.
Pero dobbiamo anche considerare il caso in cui $K=1$ e $K=-1$ ,dove la molteplicita algebrica di $T=0$ e $T=2$ diventa 2. Fatto questo sostituisco i valori $T=0$e$K=-1$ nella matrice e confronto le molteplicita',stessa cosa faccio per $T=2$ e $K=1$
GIUSTO??
Se $k ne -1 ; k ne 1 $ si hanno tre radici distinte e quindi la matrice è diagonalizzabile ; molteplicità algebrica = molt geometrica .
Se $ k = -1 $ allora $ t =0 $ è radice doppia . Domanda da porsi e da verificare : ha $ t=0 $ molteplicità geometrica = 2 ? se si allora matrice è diagonalizzabile, altrimenti no.
Se $ k = 1 $ allora $ t= 2 $ è radice doppia . analoga domanda da porsi come al punto sopra .
Se $ k = -1 $ allora $ t =0 $ è radice doppia . Domanda da porsi e da verificare : ha $ t=0 $ molteplicità geometrica = 2 ? se si allora matrice è diagonalizzabile, altrimenti no.
Se $ k = 1 $ allora $ t= 2 $ è radice doppia . analoga domanda da porsi come al punto sopra .
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