Diagonalizzazione matrice

[robe921]

Sono letteralmente caduto nel pallone con questa matrice: $A=((-5,0,6),(k,1,-3),(-3,0,10))$
Non riesco a raccapezzarmi con il suo polinomio caratteristico.. Potreste calcolarmelo facendomi vedere i passaggi per capire cosa non riesco a fare? Vi ringrazio

[Gi81]

In pratica, devi calcolare il determinante di $A-lambda I = ((-5-lambda,0,6),(k,1-lambda,-3),(-3,0,10-lambda))$

Sviluppa lungo la seconda colonna ( ci sono due zeri).
N.B. : il polinomio caratteristico non dipende da $k$

[robe921]

diciamo che questo lo saprei fare xD è solo che mi impallo nei conti perché trovo cifre molto alte.. per questo vorrei i calcoli passo passo se non ti dispiace

[Gi81]

Saprai certamente che chiedere la risoluzione di un esercizio "passo passo" è contro lo spirito di questo forum.
Comunque non ci sono numeri grandi (il più grande che trovo è $50$).

Dai, un piccolo sforzo. Fammi almeno vedere il primo passaggio:
$det(A-lambdaI)= ...$

[robe921]

sviluppo il determinante: $(1-x)|(-5-x,6),(-3,10-x)|=(1-x)(-50+5x-10x+x^2+18)\rightarrow (1-x)(x^2-5x-32)$
Come va?

[Gi81]

Va benissimo. Quali erano i calcoli complicati?

Ora, un autovalore è $lambda_1= 1$.
Ce ne sono altri due (meno belli): li trovi risolvendo $x^2-5x-32=0$

[robe921]

sì ma non mi trovo perché il determinante della matrice dovrebbe essere $-(x-4)(x-1)^2$.. come mai non va?

[Gi81]

Non so cosa dirti. Il procedimento e i conti sono corretti.
Quel polinomio caratteristico risulterebbe se, ad esempio, invece di $A=((-5,0,6),(k,1,-3),(-3,0,10))$
tu avessi $A=((-5,0,6),(k,1,-3),(-9,0,10))$ (cioè con il $-9$ invece che $-3$ in basso a sinistra)

[robe921]

cribbio è vero! controllando la traccia originale c'è il $-9$ al posto del $-3$, mi scuso ahah, le ore mattutine mi tirano un brutto scherzo