Diagonalizzazione matrice
Sto studiando per matematica discreta per fare l'esame (la terza volta a settembre 
) e non capisco se è il professore che sbaglia nelle soluzioni o io che non ho capito 
Allora ho la matrice
$A=((4,-6,0),(0,-2,0),(-3,3,-2))$
e devo trovare autovalori, autovettori e dire se è diagonalizzabile.
Gli autovalori che ho trovato facilmente sono:
$\lambda=4$ con molteplicità algebrica 1
$\lambda=-2$ con molteplicità algebrica 2
ora calcolo le matrici
$(A-4I)=((0,-6,0),(0,-6,0),(-3,3,-6))$ che ridotta a scala mi da $((-3,3,-6),(0,-6,0),(0,0,0))$ quindi la molteplicità geometrica di $\lambda=4$ è 2
e
$(A+2I)=((6,-6,0),(0,0,0),(-3,3,0))$ che ridotta a scala mi da $((6,-6,0),(0,0,0),(0,0,0))$ quindi la molteplicità geometrica di $\lambda=-2$ è 1
Quindi non è diagonizzabile (visto che da quel che ho capito dovrei aver avuto le due molteplicità (geometrica e algebrica) uguale per ogni autovalore.
Il professore invece nelle slide mette che è diagonalizzabile
Chi ha ragione?
Grazie
) e non capisco se è il professore che sbaglia nelle soluzioni o io che non ho capito Allora ho la matrice
$A=((4,-6,0),(0,-2,0),(-3,3,-2))$
e devo trovare autovalori, autovettori e dire se è diagonalizzabile.
Gli autovalori che ho trovato facilmente sono:
$\lambda=4$ con molteplicità algebrica 1
$\lambda=-2$ con molteplicità algebrica 2
ora calcolo le matrici
$(A-4I)=((0,-6,0),(0,-6,0),(-3,3,-6))$ che ridotta a scala mi da $((-3,3,-6),(0,-6,0),(0,0,0))$ quindi la molteplicità geometrica di $\lambda=4$ è 2
e
$(A+2I)=((6,-6,0),(0,0,0),(-3,3,0))$ che ridotta a scala mi da $((6,-6,0),(0,0,0),(0,0,0))$ quindi la molteplicità geometrica di $\lambda=-2$ è 1
Quindi non è diagonizzabile (visto che da quel che ho capito dovrei aver avuto le due molteplicità (geometrica e algebrica) uguale per ogni autovalore.
Il professore invece nelle slide mette che è diagonalizzabile
Chi ha ragione?
Grazie
Risposte
ok come non detto.. avevo capito male io.. non devo guardare il rango della matrice ma devo vedere la dimensione dell'autospazio per capire la molteplicità geometrica..
giusto?
giusto?
[...]
EDIT:
Oggi sono fuori... :p
EDIT:
Oggi sono fuori... :p
Il tuo errore principale sta nel dire che la molteplicità geometrica è il $rg$ di quella matrice. In realtà la dimensione dell'autospazio (che è proprio la molteplicità geometrica che cerchi) è data dalla dimensione del $ker$ di quella matrice.
Non solo, fossi in te mi riguarderei un po' meglio la teoria, così eviti di fare passaggi inutili: visto che la molteplicità algebrica dell'autovalore $4$ è $1$, era proprio necessario calcolare la molteplicità geometrica?
Non solo, fossi in te mi riguarderei un po' meglio la teoria, così eviti di fare passaggi inutili: visto che la molteplicità algebrica dell'autovalore $4$ è $1$, era proprio necessario calcolare la molteplicità geometrica?
"borador":
Il tuo errore principale sta nel dire che la molteplicità geometrica è il $rg$ di quella matrice. In realtà la dimensione dell'autospazio (che è proprio la molteplicità geometrica che cerchi) è data dalla dimensione del $ker$ di quella matrice.
Non solo, fossi in te mi riguarderei un po' meglio la teoria, così eviti di fare passaggi inutili: visto che la molteplicità algebrica dell'autovalore $4$ è $1$, era proprio necessario calcolare la molteplicità geometrica?
Avevo scritto un po' di fretta... hai ragione è il \(\ker\) 
... Ragionavo sul numero di vettori indipendenti che erano soluzioni e mi sono confuso 
.
Figurati!
Per quanto riguarda questa parte del discorso invece?
"borador":
Non solo, fossi in te mi riguarderei un po' meglio la teoria, così eviti di fare passaggi inutili: visto che la molteplicità algebrica dell'autovalore $4$ è $1$, era proprio necessario calcolare la molteplicità geometrica?
Per quanto riguarda questa parte del discorso invece?
"borador":
Figurati!
[quote="borador"]Non solo, fossi in te mi riguarderei un po' meglio la teoria, così eviti di fare passaggi inutili: visto che la molteplicità algebrica dell'autovalore $4$ è $1$, era proprio necessario calcolare la molteplicità geometrica?
Per quanto riguarda questa parte del discorso invece?[/quote]
questa io non la so :/
La molteplicità algebrica è sempre maggiore o uguale della molteplicità geometrica! Per cui se la molteplicità algebrica di un autovalore è $1$, quella geometrica è per forza $1$.
"borador":
La molteplicità algebrica è sempre maggiore o uguale della molteplicità geometrica! Per cui se la molteplicità algebrica di un autovalore è $1$, quella geometrica è per forza $1$.
questa non la sapevo
grazie mille mi sarà molto utile
Prego!
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