Diagonalizzazione matrice

[danielspc15]

ciao a tutti dovrei diagonalizzare la matrice A = $ ( ( 2 , 1 , 1 ),( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ) ) $ solamente che quando vado a fare lo studio deglia autovalori non riesco a trovare gli autovettori in quanto sono tutti 0.. ho provato varie volte ma nulla, eppure sul libro mi dice che gli autovettori ci sono e sono diversi da zero.. come posso fare ? grazie

[donald_zeka]

Gli autovalori mi sembrano siano $lamda_1=1$ e $lamda_2=4$, con $lamda_1$ che ha molteplicità algebrica $2$, prova a rifare i conti perché gli autovettori mi sembra che non siano nulli.

[danielspc15]

esatto anche a me vengono i stessi autovalori, solamente che quando vado a trovare gli autovettori ( lo faccio tramite riduzione di gauss) ottengo che il rango è 3 e di conseguenza ho x=0, y=0, e z=0

[donald_zeka]

Come fa con $lamda=1$ a venirti rango $3$? Ti viene una matrice con 3 righe uguali $(1,1,1)$

[danielspc15]

allora ho impostato la matrice in questo modo $ ( ( lambda-2 , 1 , 1 ),( 1 , lambda , 1 ),( 1 , 1 , lambda ) ) $ e quinid nel caso $ lambda =1 $ ottengo la matrice $ ( ( -1 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , -1 ) ) $ il quale poi faccio la riduzione di gauss ed ottengo $ ( ( -1 , 1 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
quindi alla fine il sistema diventa $ { ( -x+y+z=0 ),( 2y=0 ),( 2z=0 ):} $ con soluzioni $ { ( x=0 ),( y=0 ),( z=0 ):} $
ecco il mio procedimento

[donald_zeka]

Il polinomio caratteristico è $P(lamda)=det(A-Ilamda)$ oppure $P(lamda)=det(Ilamda-A)$. Quindi sbagli perchè quella matrice che hai tu non è ne $A-Ilamda$ nè $Ilamda-A$

[danielspc15]

io ho usato semplicemente la formula $ det(lambda I-A) $ e quindi poi ho sostituito nella matrice

[donald_zeka]

Quella non è la matrice $lamdaI-A$...

[danielspc15]

ops ho sbagliato a riportare la matrice.. comunque la matrice giusta è questa :
$ ( ( -1 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , -1 ) ) $

[donald_zeka]

No...

[danielspc15]

allora non so proprio quale sia..me la potresti dire ?

[donald_zeka]

Calcola la matrice $A-lamdaI$

[danielspc15]

ma io nel mio libro ho scritto che per trovare autovalori devo fare det(lambda I-A)=0

[donald_zeka]

È la stessa cosa, cambia solo un segno, infatti se per un certo $lamda$ il determinante $det(Ilamda-A)$ vale $0$, allora vale zero anche il determinante $det(A-lamdaI)$, inoltre fare $A-lamdaI$ aiuta a prevenire errori del tipo che hai fatto tu. Comunque è la stessa cosa, il mio testo la calcola come $det(A-lamdaI)$, ma tu puoi fare come preferisci, solo nota che $Ilamda-A=-(A-Ilamda)$, quindi se vuoi sapere dove sbagli nel calcolare $Ilamda-A$, calcola $A-Ilamda$ e mettici un segno $-$ davanti.

[danielspc15]

ora proverò e ti farò sapere