Diagonalizzazione endomorfismi lineari
Ciao a tutti, stavo svolgendo degli esercizi sulla diagonalizzazione di endomorfismi lineari, e non riesco a trovare una corrispondenza tra la mia soluzione e quella proposta dal testo. Vi scrivo la mia soluzione e dove mi blocco, non ho ben capito qual è l'ulteriore passaggio da fare:
Sia \(\displaystyle T: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3 \) un endomorfismo lineare la cui matrice rispetto alla base standard è la seguente:
\(\displaystyle [T] = \begin{bmatrix}
0 & 3 & 0\\
1 & -2 & 0\\
1 & -3 & 1
\end{bmatrix} \)
Dire se è diagonalizzabile o meno, ed eventualmente trovare una base composta da autovettori.
Ho iniziato calcolando gli autovalori, e confrontando le loro molteplicità algebriche e geometriche. In questo caso, il polinomio caratteristico \(\displaystyle p(\lambda )=(\lambda ^2-1)(\lambda +3)
\) ha come radici \(\displaystyle \lambda = -3 \) con molteplicità algebrica 1 (e dunque anche molteplicità geometrica), e \(\displaystyle \lambda = 1 \) con molteplicità algebrica 2.
A questo punto non mi resta che calcolare la molteplicità geometrica dell'autovalore 1. Se sarà uguale a 2, l'applicazione sarà diagonalizzabile.
Dunque calcolo il rango della matrice \(\displaystyle \lambda I - [T] \)
\(\displaystyle dim Ker\begin{pmatrix}
1 & -3 & 0\\
-1 & 3 & 0\\
-1 & 3 & 0
\end{pmatrix}
\)
Che ridotta per righe diventa:
\(\displaystyle\begin{pmatrix}
1 & -3 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\)
Detto ciò il rango della matrice è 1, la dimensione del kernel sarà 2, ovvero molteplicità geometrica e algebrica coincidono. L'applicazione è diagonalizzabile.
Calcolo dunque una base di autovettori, ottenendo per l'autovettore 1 la base: \(\displaystyle \{(3,1,0),(0,0,1)\} \) e per l'autovettore 3: \(\displaystyle \{(0,0,0)\} \) .
Ora, come faccio a passare da una base di autovettori alla matrice diagonale? Questo passaggio non sono riuscito a comprenderlo molto bene, perchè in quasi tutti gli esempi è dato per scontato...
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Sia \(\displaystyle T: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3 \) un endomorfismo lineare la cui matrice rispetto alla base standard è la seguente:
\(\displaystyle [T] = \begin{bmatrix}
0 & 3 & 0\\
1 & -2 & 0\\
1 & -3 & 1
\end{bmatrix} \)
Dire se è diagonalizzabile o meno, ed eventualmente trovare una base composta da autovettori.
Ho iniziato calcolando gli autovalori, e confrontando le loro molteplicità algebriche e geometriche. In questo caso, il polinomio caratteristico \(\displaystyle p(\lambda )=(\lambda ^2-1)(\lambda +3)
\) ha come radici \(\displaystyle \lambda = -3 \) con molteplicità algebrica 1 (e dunque anche molteplicità geometrica), e \(\displaystyle \lambda = 1 \) con molteplicità algebrica 2.
A questo punto non mi resta che calcolare la molteplicità geometrica dell'autovalore 1. Se sarà uguale a 2, l'applicazione sarà diagonalizzabile.
Dunque calcolo il rango della matrice \(\displaystyle \lambda I - [T] \)
\(\displaystyle dim Ker\begin{pmatrix}
1 & -3 & 0\\
-1 & 3 & 0\\
-1 & 3 & 0
\end{pmatrix}
\)
Che ridotta per righe diventa:
\(\displaystyle\begin{pmatrix}
1 & -3 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\)
Detto ciò il rango della matrice è 1, la dimensione del kernel sarà 2, ovvero molteplicità geometrica e algebrica coincidono. L'applicazione è diagonalizzabile.
Calcolo dunque una base di autovettori, ottenendo per l'autovettore 1 la base: \(\displaystyle \{(3,1,0),(0,0,1)\} \) e per l'autovettore 3: \(\displaystyle \{(0,0,0)\} \) .
Ora, come faccio a passare da una base di autovettori alla matrice diagonale? Questo passaggio non sono riuscito a comprenderlo molto bene, perchè in quasi tutti gli esempi è dato per scontato...
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
"Smoke666":
Ho iniziato calcolando gli autovalori, e confrontando le loro molteplicità algebriche e geometriche. In questo caso, il polinomio caratteristico \( \displaystyle p(\lambda )=(\lambda ^2-1)(\lambda +3) \) ha come radici \( \displaystyle \lambda = -3 \) con molteplicità algebrica 1 (e dunque anche molteplicità geometrica), e \( \displaystyle \lambda = 1 \) con molteplicità algebrica 2.
A me sembra che il polinomio caratteristico che hai scritto abbia invece tre radici distinte (e quindi la diagonalizzabilità ce l'hai per forza).
"Smoke666":
Ora, come faccio a passare da una base di autovettori alla matrice diagonale? Questo passaggio non sono riuscito a comprenderlo molto bene, perchè in quasi tutti gli esempi è dato per scontato...
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Vale la relazione
\[ D = M^{-1} T M \]
dove \( T \) è la matrice di partenza, \( D \) è la matrice diagonale e \( M \) è la matrice di cambio base per passare dalla base canonica alla base diagonalizzante e si ottiene attraverso una base di autovettori.
Sicuro dei conti?
$|X-A|=|(x,-3,0),(-1,x+2,0),(-1,3,x-1)|=(x-1)[x(x+2) -3]=(x-1)(x-1)(x+3)$
Forse hai scritto male.
Inoltre il tuo terzo autovettore.. non è autovettore, è nullo.. Gli autovettori sono:
$A-1= ((-1,3,0),(1,-3,0),(1,-3,0))=> <((3),(1),(0)),((0),(0),(1))>$
Per x=-3
$A+3= ((3,3,0),(1,1,0),(1,3,2))=> <((1),(-1),(1))>$
Quindi la matrice sarà data da:
$((3,0,1),(1,0,-1),(0,1,1))((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-3))((3,0,1),(1,0,-1),(0,1,1))^-1=((0,3,0),(1,-2,0),(1,-3,1))$
$|X-A|=|(x,-3,0),(-1,x+2,0),(-1,3,x-1)|=(x-1)[x(x+2) -3]=(x-1)(x-1)(x+3)$
Forse hai scritto male.
Inoltre il tuo terzo autovettore.. non è autovettore, è nullo.. Gli autovettori sono:
$A-1= ((-1,3,0),(1,-3,0),(1,-3,0))=> <((3),(1),(0)),((0),(0),(1))>$
Per x=-3
$A+3= ((3,3,0),(1,1,0),(1,3,2))=> <((1),(-1),(1))>$
Quindi la matrice sarà data da:
$((3,0,1),(1,0,-1),(0,1,1))((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-3))((3,0,1),(1,0,-1),(0,1,1))^-1=((0,3,0),(1,-2,0),(1,-3,1))$
Mi scuso per i conti, li ho svolti di fretta e non ho ricontrollato. Ora ho capito il procedimento da utilizzare, ma sorge spontanea una domanda: la matrice diagonale, altri non è che una matrice contentente sui pivot gli autovalori? Se così fosse, con quale criterio si è scelta questa:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -3
\end{bmatrix} \)
piuttosto che una qualunque altra permutazione, come ad esempio:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -3 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)
Intanto grazie per le risposte!
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -3
\end{bmatrix} \)
piuttosto che una qualunque altra permutazione, come ad esempio:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -3 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)
Intanto grazie per le risposte!
Nessuna motivazione, è usuale mettere i valori uguali vicini, per motivi che scoprirai in seguito. Ovviamente se sposti un autovalore devi spostare l'autovettore in maniera opportuna.
"Maci86":
Nessuna motivazione, è usuale mettere i valori uguali vicini, per motivi che scoprirai in seguito.
Quali sarebbero questi motivi?
"Maci86":
Nessuna motivazione, è usuale mettere i valori uguali vicini, per motivi che scoprirai in seguito. Ovviamente se sposti un autovalore devi spostare l'autovettore in maniera opportuna.
Grazie per il chiarimento, ora rimane hai instillato in me la curiosità di scoprire il perchè autovalori uguali sono usualmente posti vicini! Farò qualche ricerca in merito!
Grazie!
"Riccardo Desimini":
Quali sarebbero questi motivi?
Penso che si faccia, a parte il rendere più evidente la ripetizione, perché in questo modo la base (ordinata) associata alla matrice è fatta in modo da mettere vicino i generatori dello stesso autospazio.
"vict85":
Penso che si faccia, a parte il rendere più evidente la ripetizione, perché in questo modo la base (ordinata) associata alla matrice è fatta in modo da mettere vicino i generatori dello stesso autospazio.
È quello che penso anch'io, vict85.
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