Diagonalizzazione e potenza
Salve, ho il seguente esercizio che purtroppo non riesco a risolvere completamente:
Si indichi una matrice \(\displaystyle A \epsilon \mathbb{R}^{3\times 3} \) con autospazio V associato all'autovalore -1: \(\displaystyle V = \left \{ x \epsilon \mathbb{R}^{3} : x_1+5x_2+7x_3 = 0\right \} \) e con 1 altro autovalore.
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Per quanto riguarda il primo punto la matrice diagonalizzata non dovrebbe risultare la matrice diagonale composta dagli autovalori? ( \(\displaystyle \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \) )
A questo punto passo alla seconda richiesta e osservo: \(\displaystyle A^{20} = S \times \lambda^{20} \times S^{-1} \).
Della matrice S posso conoscere due colonne grazie alle indicazioni sull'autospazio V: trovo per esempio una base che sarà di dimensione due. ma come fare per determinare la terza colonna? Posso sfruttare in qualche modo il terzo autovalore? Sono completamente fuori strada?
Grazie
Si indichi una matrice \(\displaystyle A \epsilon \mathbb{R}^{3\times 3} \) con autospazio V associato all'autovalore -1: \(\displaystyle V = \left \{ x \epsilon \mathbb{R}^{3} : x_1+5x_2+7x_3 = 0\right \} \) e con 1 altro autovalore.
- Si diagonalizzi A
Si determini \(\displaystyle A^{20} \)[/list:u:2bat504s]
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Per quanto riguarda il primo punto la matrice diagonalizzata non dovrebbe risultare la matrice diagonale composta dagli autovalori? ( \(\displaystyle \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \) )
A questo punto passo alla seconda richiesta e osservo: \(\displaystyle A^{20} = S \times \lambda^{20} \times S^{-1} \).
Della matrice S posso conoscere due colonne grazie alle indicazioni sull'autospazio V: trovo per esempio una base che sarà di dimensione due. ma come fare per determinare la terza colonna? Posso sfruttare in qualche modo il terzo autovalore? Sono completamente fuori strada?
Grazie
Risposte
Sulla diagonalizzazione mi pare che hai fatto bene. Sulla seconda parte, innanzitutto indicherei la matrice degli autovalori con V e non con \(\displaystyle \lambda \) che è una lettera usata per indicare gli autovalori. A parte questa (forse inutile) precisazione, osserva che :
\(\displaystyle V^{20}=\begin{pmatrix}(-1)^{20}&0&0\\0&(-1)^{20}&0\\0&0&(+1)^{20}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I_3 \)
Pertanto hai :
\(\displaystyle A^{20}=S\cdot V^{20} \cdot S^{-1}=S\cdot I_3\cdot S^{-1}=S\cdot S^{-1}=I_3\)
Non hai quindi bisogno di trovare la matrice degli autovettori S.
\(\displaystyle V^{20}=\begin{pmatrix}(-1)^{20}&0&0\\0&(-1)^{20}&0\\0&0&(+1)^{20}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I_3 \)
Pertanto hai :
\(\displaystyle A^{20}=S\cdot V^{20} \cdot S^{-1}=S\cdot I_3\cdot S^{-1}=S\cdot S^{-1}=I_3\)
Non hai quindi bisogno di trovare la matrice degli autovettori S.
oddio giusto, grazie mille, stavo pensando a chissà quale soluzione e ce l'avevo sotto il naso!
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