Diagonalizzazione e molteplicità geometrica.
Salve a tutti. Ho dei dubbi circa questo esercizio e non so se l'ho fatto bene...
Stabilire se la matrice \(\displaystyle A= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\-3 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\end{bmatrix}\) è diagonalizzabile.
Procedo calcolando il polinomio caratteristico e gli autovalori:
\(\displaystyle λI-A=\begin{bmatrix}λ & 0 & 0\\0 & λ & 0\\0 & 0 & λ\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\-3 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}λ & 0 & 0\\3 & λ & 0\\-1 & 0 & λ\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle λ(-1)^2\begin{bmatrix}λ & 0\\0 & λ\end{bmatrix} = λ^3 \)
\(\displaystyle 0(-1)^3\begin{bmatrix}3 & 0\\-1 & λ\end{bmatrix} = 0 \)
\(\displaystyle 0(-1)^4\begin{bmatrix}3 & λ\\-1 & 0\end{bmatrix} = 0 \)
\(\displaystyle det|A|= λ^3 \)
Pongo il determinante uguale a \(\displaystyle 0 \)...
\(\displaystyle λ^3 = 0 \) e, se non vado errato, ho un autovalore triplo \(\displaystyle λ=0 \), con molteplicità algebrica \(\displaystyle m_a(λ)=3 \).
Dunque, trovo l'autospazio relativo all'autovalore \(\displaystyle λ \). Preso un vettore \(\displaystyle v=(x,y,z) \)...
\(\displaystyle Av=λv \), quindi \(\displaystyle Av=0 \)
\(\displaystyle \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\-3 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle \begin{cases} 0=0\\ -3x=0\\ x=0 \end{cases} \), quindi \(\displaystyle \begin{cases} 0=0\\ x=0\\ x=0 \end{cases} \)
Perciò, l'autospazio \(\displaystyle V_λ={(x,0,0)} \) ha dimensione \(\displaystyle dim V_λ=3 \).
Finalmente posso calcolare la molteplicità geometrica, data dalla differenza tra la dimensione dell'autospazio relativo a \(\displaystyle λ \) e il rango della matrice \(\displaystyle (A-λI) \)...
\(\displaystyle m_g(λ)=dim V_λ - p(A-λI) \)
Calcolo il rango...
\(\displaystyle A-λI=A=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\-3 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\end{bmatrix} \), si vede a occhio che \(\displaystyle p(A)=1 \).
Dunque, \(\displaystyle m_g(λ)=dim V_λ - p(A-λI) = 3 - 1 = 2 \).
Molteplicità algebrica \(\displaystyle m_a(λ)=3 \) e molteplicità geometrica \(\displaystyle m_g(λ)=2 \) sono disuguali, e quindi \(\displaystyle A \) non è diagonalizzabile.
È giusto?
Stabilire se la matrice \(\displaystyle A= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\-3 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\end{bmatrix}\) è diagonalizzabile.
Procedo calcolando il polinomio caratteristico e gli autovalori:
\(\displaystyle λI-A=\begin{bmatrix}λ & 0 & 0\\0 & λ & 0\\0 & 0 & λ\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\-3 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}λ & 0 & 0\\3 & λ & 0\\-1 & 0 & λ\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle λ(-1)^2\begin{bmatrix}λ & 0\\0 & λ\end{bmatrix} = λ^3 \)
\(\displaystyle 0(-1)^3\begin{bmatrix}3 & 0\\-1 & λ\end{bmatrix} = 0 \)
\(\displaystyle 0(-1)^4\begin{bmatrix}3 & λ\\-1 & 0\end{bmatrix} = 0 \)
\(\displaystyle det|A|= λ^3 \)
Pongo il determinante uguale a \(\displaystyle 0 \)...
\(\displaystyle λ^3 = 0 \) e, se non vado errato, ho un autovalore triplo \(\displaystyle λ=0 \), con molteplicità algebrica \(\displaystyle m_a(λ)=3 \).
Dunque, trovo l'autospazio relativo all'autovalore \(\displaystyle λ \). Preso un vettore \(\displaystyle v=(x,y,z) \)...
\(\displaystyle Av=λv \), quindi \(\displaystyle Av=0 \)
\(\displaystyle \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\-3 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle \begin{cases} 0=0\\ -3x=0\\ x=0 \end{cases} \), quindi \(\displaystyle \begin{cases} 0=0\\ x=0\\ x=0 \end{cases} \)
Perciò, l'autospazio \(\displaystyle V_λ={(x,0,0)} \) ha dimensione \(\displaystyle dim V_λ=3 \).
Finalmente posso calcolare la molteplicità geometrica, data dalla differenza tra la dimensione dell'autospazio relativo a \(\displaystyle λ \) e il rango della matrice \(\displaystyle (A-λI) \)...
\(\displaystyle m_g(λ)=dim V_λ - p(A-λI) \)
Calcolo il rango...
\(\displaystyle A-λI=A=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\-3 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\end{bmatrix} \), si vede a occhio che \(\displaystyle p(A)=1 \).
Dunque, \(\displaystyle m_g(λ)=dim V_λ - p(A-λI) = 3 - 1 = 2 \).
Molteplicità algebrica \(\displaystyle m_a(λ)=3 \) e molteplicità geometrica \(\displaystyle m_g(λ)=2 \) sono disuguali, e quindi \(\displaystyle A \) non è diagonalizzabile.
È giusto?
Risposte
A occhio e croce, yes 
In effetti "a occhio e croce" avevo solo guardato il calcolo degli autovalori e l'ultima riga, per fortuna che Sergio è meno pigro di me e l'ha letto tutto!
Attenzione! Come ha già sottolineato Sergio questo è errato.
1)$mg(lambda_i)=dim(V_(lambda_i))$!!
2)$dim(V_(lambda_i))=n-rank(A-lambda_i)$
La 1) è per definizione.
La 2) è per il seguente motivo:
Come sai prima di calcolare gli autovalori si arriva a questo punto:
$(A-lambdaI)vec v=vec 0$
Tu vuoi che il sistema -omogeneo- abbia soluzioni non banali (ovvero imponi per il corollario di Cramer che la matrice $A-lambdaI$ non sia regolare) e ti trovi i tuoi simpatici autovalori $lambda_1,lambda_2..,lambda_k$.
Per l'$text{i-esimo autovalore } lambda_i, i in [1,k]$ si ha che:
$(A-lambda_i)vec v = vec 0$
Se risolvi il sistema trovi la base dello spazio vettoriale delle soluzioni (= autospazio relativo a $lambda_i$):
$[dim(Sol_(lambda_i))=dim(V_(lambda_i))]=n-rank(A-lambda_i)$
Quest'ultima e' l'equazione dimensionale per le trasformazioni lineari.
"Kurtis92":
Dunque, \(\displaystyle m_g(λ)=dim V_λ - p(A-λI) = 3 - 1 = 2 \).
Attenzione! Come ha già sottolineato Sergio questo è errato.
1)$mg(lambda_i)=dim(V_(lambda_i))$!!
2)$dim(V_(lambda_i))=n-rank(A-lambda_i)$
La 1) è per definizione.
La 2) è per il seguente motivo:
Come sai prima di calcolare gli autovalori si arriva a questo punto:
$(A-lambdaI)vec v=vec 0$
Tu vuoi che il sistema -omogeneo- abbia soluzioni non banali (ovvero imponi per il corollario di Cramer che la matrice $A-lambdaI$ non sia regolare) e ti trovi i tuoi simpatici autovalori $lambda_1,lambda_2..,lambda_k$.
Per l'$text{i-esimo autovalore } lambda_i, i in [1,k]$ si ha che:
$(A-lambda_i)vec v = vec 0$
Se risolvi il sistema trovi la base dello spazio vettoriale delle soluzioni (= autospazio relativo a $lambda_i$):
$[dim(Sol_(lambda_i))=dim(V_(lambda_i))]=n-rank(A-lambda_i)$
Quest'ultima e' l'equazione dimensionale per le trasformazioni lineari.
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