Diagonalizzazione, dubbio su molteplicità autovalori
devo diagonalizzare questa matrice (che sarebbe la matrice associata ad una forma bilineare)
$ ( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
trovo il polinomio caratteristico che è(verificato con maxima):
$ -x^3+x^2+x-1 $
lo scompongo con ruffini ed ho che è uguale a
$ (x-1)(1-x^2) $ ed a $ (x+1)(-x^2+2x-1) $
risolvo solo la prima scomposizione ed ho che le radici del polinomio caratteristico sono
$x=1,x=-1$
passo agli autospazi
$V(1)= ( ( -1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ riduco a scala.. e mi viene che il sistema è equivalente ad
$y-x=0$ da cui, ed è qui che non sono sicuro:
una base di V(1) è $(1,1,0)$ per cui la dimensione di V(1) è 1..
stesso discorso con V(-1):
$V(-1)= ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ riduco a scala ed è equivalente a:
$ { ( x+y=0 ),( 2z=0 ):} $
per cui una base è $(1,-1,0)$ di dimensione 1..
non verificandosi mai che la dimensione geometria di autovalore sia inferiore alla algebrica la matrice si può diagonalizzare, ho svolto bene l'esercizio? non sono sicuro sulle dimensioni algebriche e geometriche più che altro
$ ( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
trovo il polinomio caratteristico che è(verificato con maxima):
$ -x^3+x^2+x-1 $
lo scompongo con ruffini ed ho che è uguale a
$ (x-1)(1-x^2) $ ed a $ (x+1)(-x^2+2x-1) $
risolvo solo la prima scomposizione ed ho che le radici del polinomio caratteristico sono
$x=1,x=-1$
passo agli autospazi
$V(1)= ( ( -1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ riduco a scala.. e mi viene che il sistema è equivalente ad
$y-x=0$ da cui, ed è qui che non sono sicuro:
una base di V(1) è $(1,1,0)$ per cui la dimensione di V(1) è 1..
stesso discorso con V(-1):
$V(-1)= ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ riduco a scala ed è equivalente a:
$ { ( x+y=0 ),( 2z=0 ):} $
per cui una base è $(1,-1,0)$ di dimensione 1..
non verificandosi mai che la dimensione geometria di autovalore sia inferiore alla algebrica la matrice si può diagonalizzare, ho svolto bene l'esercizio? non sono sicuro sulle dimensioni algebriche e geometriche più che altro
Risposte
Non ho controllato il resto, però l'autospazio corrispondente all'autovalore $1$ non è calcolato bene.
$x-y=0$,
$V_1={(y,y,z)|y,zinRR}$=$<(1,1,0),(0,0,1)>$
$x-y=0$,
$V_1={(y,y,z)|y,zinRR}$=$<(1,1,0),(0,0,1)>$
Perchè non è calcolato bene? non dovrebbe essere
$ (( -x , 1 , 0 ),( 1 , x , 0 ),( 0 , 0 , (1-x)) ) $
con x=1 quindi lo spazio delle soluzioni di
$ ( ( -1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )X ( (x ),( y ),( z ) ) =( (0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
e quindi riducendo a scala
$ ( ( -1,1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )X ( (x ),( y ),( z ) ) =( (0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
e in definitiva
$y-x=0$ ??dove sbaglio?
$ (( -x , 1 , 0 ),( 1 , x , 0 ),( 0 , 0 , (1-x)) ) $
con x=1 quindi lo spazio delle soluzioni di
$ ( ( -1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )X ( (x ),( y ),( z ) ) =( (0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
e quindi riducendo a scala
$ ( ( -1,1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )X ( (x ),( y ),( z ) ) =( (0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
e in definitiva
$y-x=0$ ??dove sbaglio?
L'equazione $y-x=0$ è scritta bene, ma risolta male. Ricorda che l'equazione $y-x=0$, se volessi esser pignolo la scrivo: $x-y+0z=0$. Quest'ultima equazione individua il tuo autospazio. Risolvi quell'equazione e determina una base.
vediamo se ho capito..in parole molto ma molto povere vorrebbe dire: z può assumere anche essa un valore diverso da 0, il sistema è verificato lo stesso se però la somma x+y dà 0..la dimensione di V(1) sarebbe quindi 2 giusto?
allora riguardo V(-1) come ho scritto su va bene?
cioè una base di
$ { ( x+y=0 ),( 2z=0):} $
è $(1,-1,0)$ ?
qui la z non può assumere valori diversi da 0..e la dimensione di V(-1) sarebbe 1..
quindi $Q=((1,1,0);(0,0,1);(1,-1,0))$ è una base di V
e una matrice diagonale congruente alla data sarebbe:
$ D=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
Potrebbe darsi che ne ho dette di grosse, nel caso scusatemi
sto cercando di prepare questo esame senza aver seguito le lezioni purtroppo
allora riguardo V(-1) come ho scritto su va bene?
cioè una base di
$ { ( x+y=0 ),( 2z=0):} $
è $(1,-1,0)$ ?
qui la z non può assumere valori diversi da 0..e la dimensione di V(-1) sarebbe 1..
quindi $Q=((1,1,0);(0,0,1);(1,-1,0))$ è una base di V
e una matrice diagonale congruente alla data sarebbe:
$ D=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
Potrebbe darsi che ne ho dette di grosse, nel caso scusatemi
sto cercando di prepare questo esame senza aver seguito le lezioni purtroppo
Va bene, l'unico problema l'hai avuto quando dovevi determinare le soluzione di quell'unica equazione omogenea.
Wow mi stupisco
allora visto che questo l'ho risolto bene, c'è un'altra parte dell'esercizio che ho svolto ma di cui non sono sicuro..devo verificare l'esistenza di vettori isostropi ed esibirne uno
$ p((x,y,z);(x',y',z'))=xy'+x'y+zz' $ è la forma bilineare a cui è associata la matrice di prima
essa ammette vettori isotropi perchè un suo minore principale è degenere
$det[0]=0$
ora però devo esibirne uno..avevo pensato di procedere a tentativi, in questo caso provando con $(1,0,0)$ della base canonica verifico che esso è isotropo..ma, c'è un metodo per trovarli senza fare "a caso"?
allora visto che questo l'ho risolto bene, c'è un'altra parte dell'esercizio che ho svolto ma di cui non sono sicuro..devo verificare l'esistenza di vettori isostropi ed esibirne uno
$ p((x,y,z);(x',y',z'))=xy'+x'y+zz' $ è la forma bilineare a cui è associata la matrice di prima
essa ammette vettori isotropi perchè un suo minore principale è degenere
$det[0]=0$
ora però devo esibirne uno..avevo pensato di procedere a tentativi, in questo caso provando con $(1,0,0)$ della base canonica verifico che esso è isotropo..ma, c'è un metodo per trovarli senza fare "a caso"?
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