Diagonalizzazione di una matrice con incognita k
Salve a tutti io ho un problema di risoluzione di una matrice 4x4 con all'interno un incognita, mi viene chiesto di dire per quale valore dell'incognita k la matrice è diagonalizzabile e invertibile. la matrice è la seguente:
$ {: ( 3 , -1 , 1 , 2 ),( 0 , 1 , 2 , k ),( 0 , 1 , 2 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) :} $
io ho provato a calcolare il determinante ma mi viene sempre uguale a zero, questo mi dice che non può essere invertibile(e ne diagonalizzabile di conseguenza) .
A questo punto non capisco dove stia sbagliando poichè non riesco a giungere alla soluzione del problema.
spero che vogliate scusare la mia ignoranza e darmi una mano. Vi ringrazio anticipatamente.
$ {: ( 3 , -1 , 1 , 2 ),( 0 , 1 , 2 , k ),( 0 , 1 , 2 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) :} $
io ho provato a calcolare il determinante ma mi viene sempre uguale a zero, questo mi dice che non può essere invertibile(e ne diagonalizzabile di conseguenza) .
A questo punto non capisco dove stia sbagliando poichè non riesco a giungere alla soluzione del problema.
spero che vogliate scusare la mia ignoranza e darmi una mano. Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
il determinante effettivamente viene $0$, e quindi è degenere per ogni valore di $k$... ma perchè non è diagonalizzabile?
Perchè non posso trovarne l'inversa e poi senza calcolare il determinante, come faccio a ottenere il valore del parametro k che mi serve? l'esrcizio prosegue chiedendo: Per questo valore d k scrivere una matrice invertibile P e una diagonale D tali che P^-1AP=D....ma come posso avere una matrice P?
Perchè è necessario che la nostra matrice sia invertibile per essere diagonalizzabile? E' la matrice diagonalizzante, la nostra $P$, a dover essere invertibile...
Una matrice quadrata è diagonalizzabile se e solo se è simile ad una matrice diagonale... questioni sull'invertibilità o meno io non ne vedo!
Una matrice quadrata è diagonalizzabile se e solo se è simile ad una matrice diagonale... questioni sull'invertibilità o meno io non ne vedo!
si hai ragione questi sono miei castelli...però come me lo tovo il valore di k?
Scrivi il polinomio caratteristico... e discuti tutti i casi normalmente. Il polinomio caratteristico non dipende da $k$ se lo sviluppi in maniera appropriata...
infatti viene x(x-3)^3....ma il problema rimane lo stesso io devo dare un valore a k che sia un numero reale...
$k$ è un numero. Non ti deve mica spaventare... hai un autovalore semplice ed uno triplo. Verifica la dimensione di $V_3$ come hai sempre fatto. Quando ti capiterà di calcolare $kt$ verifica se per qualche $k$ particolare cambiano i risultati. Altrimenti vuol dire che per ogni $kinRR$ la soluzione non cambia!
ok ora provo e vedo!grazie!!!!
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