Diagonalizzazione di una generica matrice 2x2
Ciao a tutti, vorrei chiedervi come risolvereste questo esercizio:
Una matrice casuale \(\displaystyle 2 \times 2 \) sarà diagonalizzabile?
Ho provato a calcolare le radici del polinomio caratteristico di \(\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \)ma non mi sembra particolarmente utile...
\(\displaystyle \lambda_{1,2} = \displaystyle\frac{1}{2}\left[a+d\pm\sqrt{a^2+d^2-2ad+4bc}\right] \)
Quindi credo di dover cambiare approccio... So che una matrice è diagonalizzabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico stanno nel campo dei coefficienti stessi e se, per ogni radice ripetuta, la moltiplicità geometrica corrisponde a quella algebrica. In sintesi ciò equivale a dire che la matrice in questione è diagonalizzabile se e solo se esiste una base formata da autovettori... Ma operativamente come faccio?
(i coefficienti appartengono a \(\displaystyle \mathbb{C} \))
Qualche indizio su come procedere? Grazie davvero per l'aiuto che mi state dando!
Una matrice casuale \(\displaystyle 2 \times 2 \) sarà diagonalizzabile?
Ho provato a calcolare le radici del polinomio caratteristico di \(\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \)ma non mi sembra particolarmente utile...
\(\displaystyle \lambda_{1,2} = \displaystyle\frac{1}{2}\left[a+d\pm\sqrt{a^2+d^2-2ad+4bc}\right] \)
Quindi credo di dover cambiare approccio... So che una matrice è diagonalizzabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico stanno nel campo dei coefficienti stessi e se, per ogni radice ripetuta, la moltiplicità geometrica corrisponde a quella algebrica. In sintesi ciò equivale a dire che la matrice in questione è diagonalizzabile se e solo se esiste una base formata da autovettori... Ma operativamente come faccio?
(i coefficienti appartengono a \(\displaystyle \mathbb{C} \))
Qualche indizio su come procedere? Grazie davvero per l'aiuto che mi state dando!
Risposte
Ho trovato un controesempio che mi fa dire con certezza che non tutte le matrici 2x2 sono diagonalizzabili:
\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}
Ma nel caso generale? Non riesco a generalizzare il risultato
\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}
Ma nel caso generale? Non riesco a generalizzare il risultato
Alla domanda "è vero che tutte le matrici $2 xx 2$ sono diagonalizzabili?" hai risposto bene tu dando il contro-esempio.
Ma credo che la domanda posta, "una matrice casuale $2 xx 2$ sarà diagonalizzabile?" sia più sullo stile di una provocazione, cioè una domanda che non ha una risposta unica ma apre alla riflessione.
Assumerò che si stia parlando di matrici a coefficienti reali.
Un'interpretazione possibile potrebbe essere questa. Supponiamo che io peschi a caso moltissime matrici $2 xx 2$, moltissime proprio, diciamo un milione di miliardi di matrici $2 xx 2$. La proporzione di quelle che sono diagonalizzabili sarà una fetta consistente del totale o una porzione così piccola da essere trascurabile? Questa domanda è già una formulazione migliore.
Considerando l'interpretazione di cui sopra, la contro-domanda più importante è "su quale campo?". Infatti se si sta considerando la diagonalizzabilità su $RR$ allora moltissime matrici "pescate a caso" non saranno diagonalizzabili per il semplice fatto di non avere gli autovalori in $RR$. Usando le tue notazioni, gli autovalori non sono reali esattamente quando $Delta = a^2+d^2-2ad+4bc$ è minore di zero. Se ci pensi, questo definisce una porzione notevole dello spazio $RR^4$ di tutte le $4$-uple $(a,b,c,d)$, peraltro anche la condizione $Delta ge 0$ definisce una porzione notevole di $RR^4$.
Se invece si sta chiedendo la diagonalizzabilità su $CC$ allora le cose cambiano parecchio, perché in questo caso la diagonalizzabilità è garantita se gli autovalori sono distinti, cioè se $Delta ne 0$. Se ci pensi, la condizione $Delta ne 0$ definisce una porzione dello spazio $RR^4$ così grande che il suo complementare, $Delta=0$, è virtualmente trascurabile, perché definisce un'ipersuperficie, una cosa che ha un'intera dimensione in meno rispetto a $RR^4$ (ha dimensione $3$). Quindi quanto alla diagonalizzabilità su $CC$, la stragrande maggior parte delle matrici pescate a caso saranno diagonalizzabili.
Un esempio più facile sarebbe questo: se prendi una matrice $2 xx 2$ a caso, questa sarà invertibile? Risposta: sì (nel senso di cui sopra) perché una matrice $A$ è invertibile se e solo se $det(A) ne 0$, e la condizione $det(A)=0$ definisce un'ipersuperficie in $RR^4$, cioè un oggetto tridimensionale, quindi trascurabile dentro $RR^4$ (esattamente come una retta nel piano cartesiano è niente rispetto al piano).
Per dirlo con la teoria della misura, le equazioni del tipo $Delta=0$ o $det(A)=0$ definiscono insiemi di misura nulla in $RR^4$.
Ma credo che la domanda posta, "una matrice casuale $2 xx 2$ sarà diagonalizzabile?" sia più sullo stile di una provocazione, cioè una domanda che non ha una risposta unica ma apre alla riflessione.
Assumerò che si stia parlando di matrici a coefficienti reali.
Un'interpretazione possibile potrebbe essere questa. Supponiamo che io peschi a caso moltissime matrici $2 xx 2$, moltissime proprio, diciamo un milione di miliardi di matrici $2 xx 2$. La proporzione di quelle che sono diagonalizzabili sarà una fetta consistente del totale o una porzione così piccola da essere trascurabile? Questa domanda è già una formulazione migliore.
Considerando l'interpretazione di cui sopra, la contro-domanda più importante è "su quale campo?". Infatti se si sta considerando la diagonalizzabilità su $RR$ allora moltissime matrici "pescate a caso" non saranno diagonalizzabili per il semplice fatto di non avere gli autovalori in $RR$. Usando le tue notazioni, gli autovalori non sono reali esattamente quando $Delta = a^2+d^2-2ad+4bc$ è minore di zero. Se ci pensi, questo definisce una porzione notevole dello spazio $RR^4$ di tutte le $4$-uple $(a,b,c,d)$, peraltro anche la condizione $Delta ge 0$ definisce una porzione notevole di $RR^4$.
Se invece si sta chiedendo la diagonalizzabilità su $CC$ allora le cose cambiano parecchio, perché in questo caso la diagonalizzabilità è garantita se gli autovalori sono distinti, cioè se $Delta ne 0$. Se ci pensi, la condizione $Delta ne 0$ definisce una porzione dello spazio $RR^4$ così grande che il suo complementare, $Delta=0$, è virtualmente trascurabile, perché definisce un'ipersuperficie, una cosa che ha un'intera dimensione in meno rispetto a $RR^4$ (ha dimensione $3$). Quindi quanto alla diagonalizzabilità su $CC$, la stragrande maggior parte delle matrici pescate a caso saranno diagonalizzabili.
Un esempio più facile sarebbe questo: se prendi una matrice $2 xx 2$ a caso, questa sarà invertibile? Risposta: sì (nel senso di cui sopra) perché una matrice $A$ è invertibile se e solo se $det(A) ne 0$, e la condizione $det(A)=0$ definisce un'ipersuperficie in $RR^4$, cioè un oggetto tridimensionale, quindi trascurabile dentro $RR^4$ (esattamente come una retta nel piano cartesiano è niente rispetto al piano).
Per dirlo con la teoria della misura, le equazioni del tipo $Delta=0$ o $det(A)=0$ definiscono insiemi di misura nulla in $RR^4$.
Davvero interessante! Grazie davvero per la risposta molto precisa e dettagliata!
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