Diagonalizzazione di un endomorfismo con parametro reale
Ciao raga ! Ho fatto questo esercizio, ma non ho modo di verificare se la mia soluzione è corretta oppure no. Inoltre ho un paio di dubbi. Di seguito l'esercizio e parte della soluzione.
Dato l'endormorfismo $f_h:(x,y,z) in RR^3 -> (x+hy, -hx+y+z, y+z) in RR^3 , h in RR$
a) calcolare gli autovalori di $h$
b) verificare se e per quali valori di $h$ l'endomorfismo è diagonalizzabile
c) determinare i valori di $h$ tali che $(1,0,3)$ sia un autovettore di $f_h$
a)
$A=((1, h, 0),(-h, 1, 1),(0, 1, 1)) => A_t=((1-t, h, 0),(-h, 1-t, 1),(0, 1, 1-t)) => |A_t|= ... (1-t)(t^2-2t+h^2)=0$
Qui mi sorge un primo dubbio in relazione alla risoluzione dell'equazione (il polinomio caratteristico) $(1-t)(t^2-2t+h^2)=0$ .
Una soluzione sicura è $t=1$ con molteplicità algebrica pari a $3$ , essendo infatti soluzione anche dell'equazione di secondo grado $(t^2-2t+h^2)$, per $h=+-1$ . Il dubbio è proprio qui: devo considerare anche il caso $h=0$ nella risoluzione dell'equazione di secondo grado? Mi si presenta così : $t_(1,2)=1+-sqrt(1-h^2)$ . Il caso $h=+-1$ è ovvio e l'ho già discusso. Basta questo, oppure c'è dell'altro ?
b)
Questo punto dipende ovviamente dai risultati del punto precedente. In ogni caso per $t=1$ con molteplicità algebrica pari a $3$ , la molteplicità geometrica potrà essere pari a $1$ , per $h!=0$ , oppure pari a $2$ per $h=0$ . Limitandoci a questa soluzione , l'endomorfismo non risulterebbe diagonalizzabile. Se dal punto a , però , dovessero venir fuori altre soluzioni, ovviamente vanno discussi gli altri casi.
c)
Qui invece non so proprio come procedere.
Ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Dato l'endormorfismo $f_h:(x,y,z) in RR^3 -> (x+hy, -hx+y+z, y+z) in RR^3 , h in RR$
a) calcolare gli autovalori di $h$
b) verificare se e per quali valori di $h$ l'endomorfismo è diagonalizzabile
c) determinare i valori di $h$ tali che $(1,0,3)$ sia un autovettore di $f_h$
a)
$A=((1, h, 0),(-h, 1, 1),(0, 1, 1)) => A_t=((1-t, h, 0),(-h, 1-t, 1),(0, 1, 1-t)) => |A_t|= ... (1-t)(t^2-2t+h^2)=0$
Qui mi sorge un primo dubbio in relazione alla risoluzione dell'equazione (il polinomio caratteristico) $(1-t)(t^2-2t+h^2)=0$ .
Una soluzione sicura è $t=1$ con molteplicità algebrica pari a $3$ , essendo infatti soluzione anche dell'equazione di secondo grado $(t^2-2t+h^2)$, per $h=+-1$ . Il dubbio è proprio qui: devo considerare anche il caso $h=0$ nella risoluzione dell'equazione di secondo grado? Mi si presenta così : $t_(1,2)=1+-sqrt(1-h^2)$ . Il caso $h=+-1$ è ovvio e l'ho già discusso. Basta questo, oppure c'è dell'altro ?
b)
Questo punto dipende ovviamente dai risultati del punto precedente. In ogni caso per $t=1$ con molteplicità algebrica pari a $3$ , la molteplicità geometrica potrà essere pari a $1$ , per $h!=0$ , oppure pari a $2$ per $h=0$ . Limitandoci a questa soluzione , l'endomorfismo non risulterebbe diagonalizzabile. Se dal punto a , però , dovessero venir fuori altre soluzioni, ovviamente vanno discussi gli altri casi.
c)
Qui invece non so proprio come procedere.
Ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
"yuco91":
..
Qui mi sorge un primo dubbio in relazione alla risoluzione dell'equazione (il polinomio caratteristico) $(1-t)(t^2-2t+h^2)=0$ .
Una soluzione sicura è $t=1$ con molteplicità algebrica pari a $3$ , essendo infatti soluzione anche dell'equazione di
Ma secondo me no! Tu non puoi considerare anche h,h è un parametro fissato,non lo devi sostituire per trovare le soluzioni del polinomio!
Poi forse ho sbagliato a fare io i conti,ma il mio polinomio,è diverso,casomai ricontrollalo!
Una volta che siamo sicuri di questa parte proseguiamo,ok?
"Mrhaha":
[quote="yuco91"]..
Qui mi sorge un primo dubbio in relazione alla risoluzione dell'equazione (il polinomio caratteristico) $(1-t)(t^2-2t+h^2)=0$ .
Una soluzione sicura è $t=1$ con molteplicità algebrica pari a $3$ , essendo infatti soluzione anche dell'equazione di
Ma secondo me no! Tu non puoi considerare anche h,h è un parametro fissato,non lo devi sostituire per trovare le soluzioni del polinomio!
Poi forse ho sbagliato a fare io i conti,ma il mio polinomio,è diverso,casomai ricontrollalo!
Una volta che siamo sicuri di questa parte proseguiamo,ok?
[/quote]si effettivamente anche a me era venuto questo dubbio, ma ciò significherebbe accettare come soluzioni del polinomio caratteristico $t=1$ con $m.a.=1$ e $1+-sqrt(1-h^2)$ rispettivamente con $m.a.=1$ . E' questo che intendi, giusto. Poi da qui, calcolare il resto. Oppure ho inteso male ?
Esattamente! Però a me il polinomio caratteristico viene $ (1-t)^3 -(1-t)+ h^2 (1-t)=0$ a te veniva così?
"Mrhaha":
Esattamente! Però a me il polinomio caratteristico viene $ (1-t)^3 -(1-t)+ h^2 (1-t)=0$ a te veniva così?
Si anche a me veniva così. E' praticamente lo stesso, basta che metti in evidenza un altro paio di volte ed ottieni la forma che ho scritto io. Fai così: $ (1-t)^3 -(1-t)+ h^2 (1-t)= (1-t^3)-(1-t)(1-h^2)=(1-t)[(1-t)^2-(1-h^2)]=(1-t)(1+t^2-2t-1+h^2)$ $=(1-t)(t^2-2t+h^2)$
Comunque ho provato a svolgere l'esercizio considerando i nuovi valori di $t$ , e alla fine mi trovo che $f_h$ è diagonalizzabile solo per $h!=0$ . Anche tu ti trovi così ?
Stavo calcolando,ma per $h=0$ avremmo tre autovalori che sarebbero: $0,1 e 2$ tutti con molteplicità 1,quindi per il teorema spettrale per $h=0$ è diagonalizzabile!
"Mrhaha":
Stavo calcolando,ma per $h=0$ avremmo tre autovalori che sarebbero: $0,1 e 2$ tutti con molteplicità 1,quindi per il teorema spettrale per $h=0$ è diagonalizzabile!
allora era come dicevo all'inizio. bisogna considerare anche il caso h=0 ...
non ci capisco più niente ...
Credo di aver trovato la soluzione ! I tre autovalori sono : $1,1-sqrt(1-h^2), 1+sqrt(1-h^2)$ tutti con molteplicità algebrica (m.a.)pari ad $1$
Riguardo alla diagonalizzabilità distinguiamo i tre casi:
$t=1$
$A_(t_1)=((0,h,0),(-h,0,1),(0,1,0))$ , il cui rango è 2 indipendentemente da $h$ , di conseguenza , la molteplicità geometrica (m.g.) sarà : $3-2=1$
quindi abbiamo un avutovalore regolare , ossia m.a.=m.g.=1
$t=1-sqrt(1-h^2)$
$A_(t_2)=((sqrt(1-h^2),h,0),(-h,sqrt(1-h^2),1),(0,1,sqrt(1-h^2)))$ , il cui rango è 2 $AAhinRR$ , come si può facilmente verificare considerando il determinante della sottomatrice $((sqrt(1-h^2),h),(-h,sqrt(1-h^2)))$
Di conseguenza , la molteplicità geometrica (m.g.) sarà : $3-2=1$ , quindi anche in questo caso abbiamo un avutovalore regolare.
$t=1+sqrt(1-h^2)$
A meno di qualche segno è un caso praticamente identico al precedente dal quale ricaviamo sempre lo stesso risultato, ossia il rango iuguale a $2$ e dunque la m.g=1. Anque questo è un autovalore regolare.
Combinando le tre soluzioni abbiamo che il nostro endomorfismo è diagonalizzabile $AAhinRR$ .
Riguardo alla diagonalizzabilità distinguiamo i tre casi:
$t=1$
$A_(t_1)=((0,h,0),(-h,0,1),(0,1,0))$ , il cui rango è 2 indipendentemente da $h$ , di conseguenza , la molteplicità geometrica (m.g.) sarà : $3-2=1$
quindi abbiamo un avutovalore regolare , ossia m.a.=m.g.=1
$t=1-sqrt(1-h^2)$
$A_(t_2)=((sqrt(1-h^2),h,0),(-h,sqrt(1-h^2),1),(0,1,sqrt(1-h^2)))$ , il cui rango è 2 $AAhinRR$ , come si può facilmente verificare considerando il determinante della sottomatrice $((sqrt(1-h^2),h),(-h,sqrt(1-h^2)))$
Di conseguenza , la molteplicità geometrica (m.g.) sarà : $3-2=1$ , quindi anche in questo caso abbiamo un avutovalore regolare.
$t=1+sqrt(1-h^2)$
A meno di qualche segno è un caso praticamente identico al precedente dal quale ricaviamo sempre lo stesso risultato, ossia il rango iuguale a $2$ e dunque la m.g=1. Anque questo è un autovalore regolare.
Combinando le tre soluzioni abbiamo che il nostro endomorfismo è diagonalizzabile $AAhinRR$ .
Yuco in realtà potevi evitare i calcoli della molteplicità geometrica,perchè la molteplicità algebrica è sempre maggiore o uguale a quella geometrica,pertanto dato che la molteplicità geometrica è 1,allora sicuramente la molteplicità geometrica sarà uno,in questo caso!
Guarda qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... ilit%C3%A0
Guarda qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... ilit%C3%A0
"Mrhaha":
Yuco in realtà potevi evitare i calcoli della molteplicità geometrica,perchè la molteplicità algebrica è sempre maggiore o uguale a quella geometrica,pertanto dato che la molteplicità geometrica è 1,allora sicuramente la molteplicità geometrica sarà uno,in questo caso!
Guarda qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... ilit%C3%A0
si lo so, infatti li ho eseguiti solo per esercitarmi un po' con il teorema degli orlati e con il calcolo dei determinanti. Cmq la soluzione ti sembra corretta ?
Ok,ora mi sembra a posto! 
Abbiamo chiarito un pò di punti! Per il terzo punto non hai alcuna idea?
Abbiamo chiarito un pò di punti! Per il terzo punto non hai alcuna idea?
Purtroppo no. Non ne ho davvero idea ...
Il consiglio che ti do è trovati tutti gli autovettori!
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