Diagonalizzazione di matrici. Calcolo di $KerM$.
Salve a tutti, avrei due domande da porvi prima del compitino di domani! La prima sicuramente richiede una risposta semplice che, tuttavia, mi sfugge, mentre la seconda è di carattere più generale:
1) In un esercizio, ho una matrice $M (3x3)$ che rappresenta una combinazione di una rotazione ed una simmetria. Quello che si chiede è di calcolare $KerM$, che risulta essere costituito unicamente dal vettore nullo. La motivazione che il testo adduce è che il determinante di tale matrice è diverso da zero, quindi $KerM=0$: come si spiega questa affermazione?
2) Avendo ben chiaro il caso 2x2, vorrei sapere se esistono dei metodi per stabilire quando una matrice è diagonalizzabile anche in dimensioni superiori. Chi mi può aiutare?
Grazie mille anticipatamente.
1) In un esercizio, ho una matrice $M (3x3)$ che rappresenta una combinazione di una rotazione ed una simmetria. Quello che si chiede è di calcolare $KerM$, che risulta essere costituito unicamente dal vettore nullo. La motivazione che il testo adduce è che il determinante di tale matrice è diverso da zero, quindi $KerM=0$: come si spiega questa affermazione?
2) Avendo ben chiaro il caso 2x2, vorrei sapere se esistono dei metodi per stabilire quando una matrice è diagonalizzabile anche in dimensioni superiori. Chi mi può aiutare?
Grazie mille anticipatamente.
Risposte
per il primo.
credo che la simmetria sia rispetto a un piano.... beh il motivo è che tu fai composizione di una rotazione che è rappresentabile tramite una matrice ortogonale e poi di una simmetria rispetto a un piano che ovviamente non ha nucleo. quindi la tua matrice è il prodotto di due matrici invertibili e quindi è anche lei invertibile.
per il secondo.
devono essere soddisfatte tutte le ipotesi di diagonalizzabilità---- nn credo ci siano metodi per stabilire la diagonalizzabilità a meno di esempi proprio evidenti.
ciao.
credo che la simmetria sia rispetto a un piano.... beh il motivo è che tu fai composizione di una rotazione che è rappresentabile tramite una matrice ortogonale e poi di una simmetria rispetto a un piano che ovviamente non ha nucleo. quindi la tua matrice è il prodotto di due matrici invertibili e quindi è anche lei invertibile.
per il secondo.
devono essere soddisfatte tutte le ipotesi di diagonalizzabilità---- nn credo ci siano metodi per stabilire la diagonalizzabilità a meno di esempi proprio evidenti.
ciao.
"miuemia":
per il primo.
credo che la simmetria sia rispetto a un piano.... beh il motivo è che tu fai composizione di una rotazione che è rappresentabile tramite una matrice ortogonale e poi di una simmetria rispetto a un piano che ovviamente non ha nucleo. quindi la tua matrice è il prodotto di due matrici invertibili e quindi è anche lei invertibile.
Intanto ti ringrazio. Ciò che mi preme sapere è questo: data una generica matrice $M(nxn)$, se $detM!=0$, posso dire automaticamente che $KerM=0$ e che quindi $rkM(rango)=n$? Se sì, come trovo conferma che ciò è vero? Spero di essere stato chiaro, grazie ancora.
assolutamente no...se il determinante è zero allore C'È nucleo!!!!!!!
"miuemia":
assolutamente no...se il determinante è zero allore C'È nucleo!!!!!!!
Scusami, ho fatto un edit sostituendo $detM=0$ con $detM!=0$, errore di distrazione.
si lo puoi dire direttamente! in quanto la tua matrice risulta essere invertibile e quindi di rango massimo
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