Diagonalizzazione di matrice con parametro
Per matrici senza parametro è poco piu' che banale.
Ho una matrice 3x3 con parametro t appartenente all'insieme R dei numeri reali:
t 2 -1
0 2 1
0 2 3
questa è la matrice da diagonalizzare. Sottraendo l'autovalore x alla diagonale principale e sviluppando il determinante ottengo:
= (t - x)(t - 1) (t - 4)
A questo punto bisogna discutere i vari casi per cui la matrice e diagonalizzabile. Qualcuno mi saprebbe spiegare il procedimento da seguire in modo da analizzare la diagonalizzazione per ogni valore del parametro t ?
Dopo aver fatto questo, determinare una base di autovettori per t=0 e x=0,1,4.
Thx a lot!
Ho una matrice 3x3 con parametro t appartenente all'insieme R dei numeri reali:
t 2 -1
0 2 1
0 2 3
questa è la matrice da diagonalizzare. Sottraendo l'autovalore x alla diagonale principale e sviluppando il determinante ottengo:
= (t - x)(t - 1) (t - 4)
A questo punto bisogna discutere i vari casi per cui la matrice e diagonalizzabile. Qualcuno mi saprebbe spiegare il procedimento da seguire in modo da analizzare la diagonalizzazione per ogni valore del parametro t ?
Dopo aver fatto questo, determinare una base di autovettori per t=0 e x=0,1,4.
Thx a lot!
Risposte
Premessa
Una matrice è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori reali e regolari.
Regolari significa che la molteplicità algebrica di un autovalore coincide con quella geometrica .
Molteplicità algebrica è l'ordine di molteplicità dell'autovalore come radice dell'equazione caratteristica .
Molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore.
1) Il polinomio caratteristico è :
$(t-x)(x^2-5x+4) $.
Le radici dell'equazione caratteristica sono :
$x_1 = t, x_2 = 1 , x_3 = 4 $
* Se t div da 1 e da 4 , allora si hanno tre autovalori distinti di molteplicità algebrica pari a 1 ; si vede anche facilmente che gli autovettori relativi hanno dimensione 1 e quindi la matrice è diagonalizzabile .
* se t=1 , si hanno le radici : $x_1 = 1 ,x_2 = 1, x_3 = 4 $ quindi 1 è radice di molteplicità algebrica 2 , mentre la molteplicità geoemtrica è : 1; infatti l'autovettore relativo è del tipo (a,o,o) e l'autospazio relativo ha dimensione 1 .
Quindo la matrice non è diagonalizzabile.
* se t = 4 , $x_1 =1,x_2 =4,x_3 = 4 $ del tutto analogo al caso precedente e quindi la matrice non è diagonalizzabile.
2) se t = 0 , la matrice diventa :
$[(0,2,-1),(0,2,1),(0,2,3)]$
Il polinomio caratteristico è :
$ -x(x^2-5x+4)$ che ha radici :
$x_1 = 0, x_2 = 4, x_3 = 1 $
* $x_1 = 1 , radice semplice
risolvendo il sistema
$2x_2-x_3 = 0$
$2x_2+x_3 = 0$
$2x_2+x_3 = 0 $
si ottiene : $x_1 libero, x_2 =x_3 = 0 $ e quindi l'autovettore sarà : $(a,0,0 ) $ ; dimensione autospazio : 1.
*$ x_2 = 4 $, radice semplice
analoghe considerazioni portano a trovare l'autovettore : $(0,b,2b) $; dimensione autospazio : 1 .
*$ x_3 = 1 $ , radice semplice
si arriva a trovare l'autovettore $ (3c,c,-c ) $ di dimensione 1 .
Quindi i tre autovalori sono reali e regolari; la matrice è diagonalizzabile .
Una base di autovettori sarà : $ (1,0,0) ; (0,1,2) ; (3,1,-1) $ .
SEO
Camillo
Una matrice è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori reali e regolari.
Regolari significa che la molteplicità algebrica di un autovalore coincide con quella geometrica .
Molteplicità algebrica è l'ordine di molteplicità dell'autovalore come radice dell'equazione caratteristica .
Molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore.
1) Il polinomio caratteristico è :
$(t-x)(x^2-5x+4) $.
Le radici dell'equazione caratteristica sono :
$x_1 = t, x_2 = 1 , x_3 = 4 $
* Se t div da 1 e da 4 , allora si hanno tre autovalori distinti di molteplicità algebrica pari a 1 ; si vede anche facilmente che gli autovettori relativi hanno dimensione 1 e quindi la matrice è diagonalizzabile .
* se t=1 , si hanno le radici : $x_1 = 1 ,x_2 = 1, x_3 = 4 $ quindi 1 è radice di molteplicità algebrica 2 , mentre la molteplicità geoemtrica è : 1; infatti l'autovettore relativo è del tipo (a,o,o) e l'autospazio relativo ha dimensione 1 .
Quindo la matrice non è diagonalizzabile.
* se t = 4 , $x_1 =1,x_2 =4,x_3 = 4 $ del tutto analogo al caso precedente e quindi la matrice non è diagonalizzabile.
2) se t = 0 , la matrice diventa :
$[(0,2,-1),(0,2,1),(0,2,3)]$
Il polinomio caratteristico è :
$ -x(x^2-5x+4)$ che ha radici :
$x_1 = 0, x_2 = 4, x_3 = 1 $
* $x_1 = 1 , radice semplice
risolvendo il sistema
$2x_2-x_3 = 0$
$2x_2+x_3 = 0$
$2x_2+x_3 = 0 $
si ottiene : $x_1 libero, x_2 =x_3 = 0 $ e quindi l'autovettore sarà : $(a,0,0 ) $ ; dimensione autospazio : 1.
*$ x_2 = 4 $, radice semplice
analoghe considerazioni portano a trovare l'autovettore : $(0,b,2b) $; dimensione autospazio : 1 .
*$ x_3 = 1 $ , radice semplice
si arriva a trovare l'autovettore $ (3c,c,-c ) $ di dimensione 1 .
Quindi i tre autovalori sono reali e regolari; la matrice è diagonalizzabile .
Una base di autovettori sarà : $ (1,0,0) ; (0,1,2) ; (3,1,-1) $ .
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